已知函数f(x)=xe^-x(x属于R) 如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明x1+x2>2

Question

已知函数f(x)=xe^-x(x属于R) 如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明x1+x2>2

请详细点谢谢，如果好会再加分
求解

Answer 1

由于f（x）＝xe^（－x），x∈R
所以x＝f（x）/（e^x）

由题意，可以设f（x1）＝f（x2）＝K
所以：x1＝f（x1）/（e^x1）＝K/（e^x1）
同理：x2＝K/（e^x2）

考虑到x1与x2的对称性，不妨设x1<x2

求导：f'（x）＝（1－x）e^（－x）
据此可以知道：
当x<1时，f'（x）<0，f（x）单调增加；
当x＝1时，f'（x）＝0，f（x）有极大值，
且此极大值为f（1）＝1/e；
当x>1时，f'（x）>0，f（x）单调减少。

因为f（x1）－f（x2）＝（x1－x2）f'（s）＝0……中值定理
其中x1<s<x2，得到f'（s）＝0，
只有s＝1，从而x1<1<x2
（注：这一部分也可以通过图像得到相同结论）

考虑到x>1时f（x）＝xe^（－x）>0，
从而K＝f（x2）>0，这样f（x1）＝K>0
而f（0）＝0，由x<1时的单调性可知，x1>0，
这样得到取值范围：0<x1<1<x2，0<K<1/e

记A＝x1＋x2，则题目是要证明A>2

而A＝f（x1）/（e^x1）＋f（x2）/（e^x2）
＝K/（e^x1）＋K/（e^x2）
>2√｛[K/（e^x1）][K/（e^x2）｝……a＋b≥2√ab，这里x1≠x2，就不写等号了
＝2K/｛e^[（x1＋x2）/2]｝

只需证明K/｛e^[（x1＋x2）/2]｝≥1即可，
也就是要证明K≥e^[（x1＋x2）/2]

注意到x2＝K/[e^（x2）]>1
所以有K>e^（x2）
由0<x1<x2又可以推得x2>（x1＋x2）/2，
从而K>e^（x2）>e^[（x1＋x2）/2]
即K/｛e^[（x1＋x2）/2]｝>1成立

因而A>2，原命题成立。

Answer 2

你好

证明：
f'(x)=(1-x)e^(-x)，当f'(x)=0时，有x=1。当x＞1时，f'(x)＜0；当x＜1时，f'(x)＞0。所以，在x=1时f(x)取得极大值和最大值。
又当x趋近于+∞时，f(x)正向趋近于0，且f(0)=0，所以，如果存在x1≠x2使得f(x1)=f(x2)，不失一般性令x1＜x2，则0＜x1＜1，x2＞1。
对于任意的x∈(0,1)，分别取两点1-x、1+x。现在比较f(1-x)和f(1+x)的大小。
f(1+x)-f(1-x)=[1+x-(1-x)e^(2x)]/e^(1+x)
令分子部分为g(x)=1+x-(1-x)e^(2x)，x∈(0,1)。求导有g'(x)=1+(2x-1)e^(2x)，x∈(0,1)。
当x=0时，g'(x)=0；当x＞0时，1+(2x-1)e^(2x)单调递增且大于0。所以，在(0,1)上g(x)是单调增函数，且g(x)＞g(0)=0，有f(1+x)-f(1-x)＞0，即f(1+x)＞f(1-x)！！
因为0＜1-x＜1、1+x＞1、f(x)在[1,+∞)上单调递减且f(1+x)＞f(1-x)，所以在1+x点的右侧必能找到一点x2，使得f(1-x)=f(x2)，x2＞1+x。
故(1-x)+x2＞(1-x)+(1+x)=2
令1-x=x1，则为x1+x2＞2