怎么用定积分求求弧长？

Question

如题所述

Answer 1

怎么用定积分求求弧长？
(一).设曲线C的参数方程是：x=φ(t)，y=ψ(t)；那么有起点A(t₁)到终点B(t₂)的弧长S：
S=[t₁，t₂]∫√[(dx/dt)²+(dy/dt)²]dt
(二)若曲线C的方程为y=f(x)，曲线弧的端点A和B对应的自变量x的值为a与b，那么A⌒B的弧长S：
S=[a，b]∫√[1+(dy/dx)²]dx追问

能用文字简单说一下吗？

追答

我给你举两个例题吧！
例一。求摆线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)的一拱之长。
解：ds=√[(dx/dt)²+(dy/dt)²]dt=a√[(1-cost)²+sin²t]dt=a√[2(1-cost)]dt=2asin(t/2)dt
故S=[0，2π]2a∫sin(t/2)dt=[0，2π]4a∫sin(t/2)d(t/2)=-4a[cos(t/2)]︱[0，2π]=-4a(-1-1)=8a
例二。求自悬链线y=(a/2)[e^(x/a)+e^(-x/a)]=ach(x/a) (a>0)的顶点A到另一点M（x ，y)的弧长
A⌒M。
解：y′=sh(x/a)；1+y′²=1+sh²(x/a)=ch²(x/a)，
故A⌒M=[0，X]∫√(1+Y′²)dx=[0，x]∫ch(x/a)dx=ash(x/a).
注：双曲正弦函数shx=[e^x-e^(-x)]/2；双曲余弦函数chx=[e^x+e^(-x)]/2.
(shx)′=chx；(chx)′=shx.

Answer 2

不明白

Answer 3

太难