在三角形ABC中，a,b,c分别表示角A,B,C对应的三边，（1）若a sinA=bcosC+c cosB,试判断三角形的形状；（2）

Question

在三角形ABC中，a,b,c分别表示角A,B,C对应的三边，（1）若asinA=bcosC+c cosB,试判断三角形的形状；（2）证明：a>=bcosB+c cosC

Answer 1

解：（1）把余弦定理的变形式 cosB = （a²+c²-b²）/ 2ac
cosC = （a²+b²-c²）/ 2ab 代入asinA=bcosC+c cosB得：
asinA = b（a²+b²-c²）/ 2ab + c （a²+c²-b²）/ 2ac
= （a²+b²-c²）/ 2a + （a²+c²-b²）/ 2a
= 2a²/(2a)
=a
∴ sinA =1
∴ A =90° 故三角形是直角三角形。
（2）bcosB/a+c cosC/a 由正弦定理
= sinBcosB/ sinA + sinCcosC/sinA
= sin2B/(2sinA) + sin2C/(2sinA)
= (sin2B + sin2C) / (2sinA) 用和差化积公式
= 2sin（B+C）cos（B-C）/ (2sinA) 【∵ sin（B+C）=sin（180°-A）=sinA】
= cos（B-C）≤1
∴ bcosB + c cosC ≤ a

Answer 2

asinA=bcosC+c cosB
(sinA)^2=sinBcosC+ cosBsinC=sin(B+c)=sinA
sinA=1 A=90°
三角形ABC为直角三角形

bcosB+c cosC
=2RsinBcosB+2RsinCcosC
=R(sin2B+sin2C)
=2Rsin(B+C)cos(B-C)
=2RsinAcos(B-C)
=acos(B-C)≤a
所以a>=bcosB+c cosC

Answer 3

(1)、∵bcosC+ccosB=a，∴由asinA=a得sinA=1，故A=90°，△ABC是直角三角形。
(2)、由正弦定理a=2RsinA、b=2RsinB、c=2RsinC，以及sin(B+C)=sinA，
被证式右端=2RsinBcosB+2RsinCcosC
=R(sin2B+sin2C)
=2Rsin(B+C)cos(B-C)
=2RsinAcos(B-C)
=acos(B-C)，
∵cos(B-C)≤1，∴a≥acos(B-C)，
就是a≥bcosB+c cosC。