初三数学函数大题

Question

（1）求证：△AOD∽△DCE；
（2）若点A坐标为（0，4），点C坐标为（7，0）．
①当点D的坐标为（5，0）时，抛物线y=ax2+bx+c过A、F、B三点，求点F的坐标及a、b、c的值；
②若点D（k，0）是线段OC上任意一点，点F是否还在①中所求的抛物线上？如果在，请说明理由；如果不在，请举反例说明；
（3）若点A的坐标是（0，m），点C的坐标是（n，0），当点D在线段OC上运动时，是否也存在一条抛物线，使得点F都落在该抛物线上？若存在，请直接用含m、n的代数式表示该抛物线；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠ECD=∠ADE=∠AOD=90°
∴∠ADO+∠EDC=90°，∠OAD+∠ADO=90°
∴∠OAD=∠EDC
∴△AOD∽△DCE
（2）①过F作FH⊥OC交OC于H,交AB于N，
由题意得，AB=OC=7，AO=BC=4，OD=5
∵△AOD∽△DCE
OD:CE=AO:CD ∴CE=2.5，CD=2
∵四边形ADEF是矩形，DE=AF，∠DAB+∠BAF=90°
又∵∠OAD+∠DAB=90°，∴∠OAD=∠BAF
∴∠EDC=∠BAF
∴△AFN≌△DEC
∴AN=DC=2，FN=EC=2.5，∴FH=6.5 F点的坐标是(2,6.5)
由A(0,4)、F (2,6.5)、B (7,4)，得
c=4 6.5=4a+2b+c 4=49a+7b+c
解得:a=-0.25 b=1.75 c=4
②解：点F在①中所求的抛物线上。
理由是：
由（2）中①可知，抛物线的表达式为：y=-0.25X平方+1.75X+4
当D(k，0)时，则DC=7-k，
同理，由△AOD∽△DCE和△AFN≌△DEC
求得：F（7-k,4分之K(7-K） ），
将x=7－k代入 得，y＝4分之K(7-K）
所以点F在①中所求的抛物线上。

Answer 2

证明：（1）题设椭圆的方程为．…（1分）
由消去y得（1+a2）x2-2a2bx+a2（b2-1）=0．…（2分）
由于直线l与椭圆相切，故△=（-2a2b）2-4a2（1+a2） （b2-1）=0，
化简得b2-a2=1．①…（4分）
解：（2）由题意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），
于是OB的中点为．…（5分）
因为l将矩形OABC分成面积相等的两部分，所以l过点，
即f（x），亦即2b-a=2．②…（6分）
由①②解得，故直线l的方程为．…（8分）
解：（3）由（2）知．
因为圆M与线段EA相切，所以可设其方程为（x-x0）2+（y-r）2=r2（r＞0）．…（9分）
因为圆M在矩形及其内部，所以④…（10分）
圆M与 l相切，且圆M在l上方，所以，即．
…（12分）
代入④得即．…（13分）
所以圆M面积最大时，，这时，．
故圆M面积最大时的方程为．…（15分）

Answer 3

（1） 角ADO与角EDC互余，又角EDC与角DEC互余，故角ADO=角DEC，又两三角形均为直角三角形，故由相似定理得：△AOD∽△DCE
（2）《1》由题，B点坐标为（7,4）显然A、B两点关于抛物线对称轴对称，故抛物线顶点横坐标为5/3，根据抛物线性质可列一方程①，再分别将A、B点坐标带入抛物线方程，得两个方程②③，联立方程得a、b、c值。由（1）问：△AOD∽△DCE，E点坐标为（7,2.5），又已知A、D两点坐标，且四点构成平行四边形，简单求得F点坐标
《2》取D点已知为（3.5,0），求点F，若发现F不在抛物线上，即为反例。如果在抛物线上，利用点D坐标求出F坐标，代入抛物线方程，满足方程则说明D为任一点，F还在抛物线上
（3）设D为（a，0），抛物线为y=ax2+bx+c，根据C点求E点，再由A、E、D三点求得F点，经各种计算，化简，若可用m、n表示出抛物线，则存在，若抛物线方程中带有a，则说明不存在