a,b,c>=0 证明a/(2a+b+c)+b/(a+2b+c)+c/(a+b+2c)<=3/4

Question

找到答案了，谢谢大家。

Answer 1

使用柯西不等式

证明:
a/(a+2b+c)+b/(a+b+2c)+c/(2a+b+c)
=a^2/(a^2+2ab+ca)+b^2/(ab+b^2+2bc)+c^2/(2ac+bc+c^2)
>=(a+b+c)^2/[(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca)]
=3(a+b+c)^2/[3(a+b+c)^2+3(ab+bc+ca)]
>=3(a+b+c)^2/[3(a+b+c)^2+(a+b+c)^2]
=3/4.
故原不等式成立追问

谢谢 题不一样

Answer 2

不妨设a+b+c=1，则等价于要证明当a,b,c>=0，a+b+c=1时，a/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)<=3/4。等价于要证当a,b,c>=0，a+b+c=1时，1/(1+a)+1/(1+b)+1/(1+c)>=9/4。等价于(1+a+1+b+1+c)(1/(1+a)+1/(1+b)+1/(1+c))>=9。利用柯西不等式(a(1)*a(1)+...+a(n)*a(n))(b(1)*b(1)+...+b(n)*b(n))>=(a(1)b(1)+...+a(n)b(n))^2，这里n=3，(1+a+1+b+1+c)(1/(1+a)+1/(1+b)+1/(1+c))>=(1+1+1)^2=9