[[[参数法, 反证法]]]
证明:
[[1]]
因为A, B, C三点均在抛物线y²=4x上,
故可设其坐标为:
A(a², 2a), B(b², 2b), C(c², 2c). ( a,b,c是互不相等的实数)
又焦点F(1,0)
∴由题设条件可得:
(a²-1,2a)+(b²-1,2b)+(c²-1,2c)=(0,0)
∴a²+b²+c²=3,且a+b+c=0.
[[2]]
假设三角形ABC是直角三角形,
不妨设∠ABC=90º
易知,直线AB, BC的斜率的积为-1.
∴[2/(a+b)]×[2/(b+c)]=-1
∴结合a+b+c=0可得:
ac=-4
又由a²+b²+c²=3, a+b+c=0可得:
(a+c)²+b²=3+2ac=-5
∴2b²=-5＜0
矛盾,
∴三角形ABC不可能是直角三角形.
追问又由a²+b²+c²=3, a+b+c=0可得:
(a+c)²+b²=3+2ac=-5
∴2b²=-5＜0
这步是哪里来的嘞
追答∵a²+b²+c²=3
两边同加2ac,可得：
a²+2ac+c²+b²=3+2ac.
整理即是：(a+c)²+b²=3+2ac
∵ac=-4
∴(a+c)²+b²=3+2ac=3+2(-4)=-5＜0
∴2b²=-5＜0. （a+b+c=0,===>a+c=-b,===>上式右边=(-b)²+b²=2b².)