第1个回答 2008-01-30
在探究勾股定理之前,先让我们认识一下勾股定理吧!“在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这就是勾股定理,西方人称它为毕达哥拉斯定理。
勾股定理是一条古老而又应用广泛的定理。据说四千多年前,中国的大禹就是用勾股定理来确定两地的地势差,以治理洪水的。古埃及人也是用勾股定理,以绳打结的方法来确定直角,并且用这个方法确定金字塔的正方形底。勾股定理在现代的应用更加广泛。木工用三四五放线法来确定直线或直角。勾股定理在科学、技术、工程上的应用多得不胜枚举。
现在我们要研究的是勾股数。究竟什么是勾股数呢?实际上很简单。在直角三角形中,若以a、b表示两条直角边,c表示斜边,勾股定理可以表述为a2+b2=c2,满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。例如(3,4,5);(5,12,13);(6,8,10);(7,24,25)等一组一组的数,每一组都能满足a2+b2=c2。显然,若直角三角形的边长都为正整数,则这三个数便构成一组勾股数;反之,每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。
那么,一组勾股数中的3个正整数之间又有什么关系呢?我仔细地研究了一番,在仔细研究后发现,勾股数的规律是很好找的。
任取两个正整数m、n(m>n),那么
a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2构成一组勾股数。
例如:当m=4,n=3时,
a=42-32=7,b=2×3×4=24,c=42+32=25,则7、24、25便构成一组勾股数。
证明:
∵a2+b2=(m2-n2) 2+(2mn) 2
=m4-2m2n2+n4+4m2n2
=m4+2m2n2+n4
=(m2+n2) 2
∵c2=(m2+n2) 2
∴a2+b2= c2
∴a、b、c构成一组勾股数。
若勾股数中的某一个数已经确定,可用如下两种方法确定另外两个数。
首先观察已知数是奇数还是偶数。
(1)若是大于1的奇数,把它平方后拆成两个相邻的整数,那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。
例如9是勾股数中的一个数,把9平方后拆成41、40两个相邻的整数,那么9、40、41便是一组勾股数。
(2)若是大于2的偶数,把它除以2后再平方,然后把这个平方数分别减1,加1。所得到的两个整数和这个偶数为一组勾股数。
例如8是勾股数中的一个数,把8除以2后,再平方,再加1得到17;8除以2后,再平方,再减1得到15,则8、15、17是一组勾股数。
以上的结论只是我观察各组勾股数得到的,究竟是否适用与所有勾股数还不好下定论,于是我就用代数证明法,进一步证明。
证明第(1)个猜想:设大于1的奇数为2n+1,那么把这个奇数平方后得到一个多项式4n2+4n+1,把这个多项式分成2n2+2n和2n2+2n+1,则2n2+2n和2n2+2n+1就是2n+1平方后拆成的两个相邻的整数。
∵(2n+1)2+(2n2+2n) 2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2
=4n4+8n3+8n2+4n+1
=(2n2+2n+1) 2
∴2n2+2n、2n2+2n+1和2n+1构成一组勾股数。
证明第(2)个猜想:设大于2的偶数为2n,那么把这个偶数除以2后再平方,然后把这个平方数分别加1,减1,所得到的两个整数为n2-1和n2+1。
∵(2n) 2+(n2-1) 2=4n2+n4-2n2+1
=n4+2n2+1
=(n2+1) 2
∴2n、n2-1和n2+1构成一组勾股数。
我除了观察到勾股数的构成以外,我还发现一组整数勾股数中的3个整数相加总是偶数,这是为什么呢?我又想到了用代数证明法来证明。
设3个整数勾股数为a、b、c(c>b>a),则b2=c2-b2=(c+a)(c-a)。分类讨论a、b、c的奇、偶性。
① a、c都为奇数,则(c+a)为偶数,(c-a)为偶数,那么b2为偶数,b也是偶数。
∵奇数+奇数+偶数=偶数
∴a+b+c=偶数
② a、c都为偶数,则(c+a)为偶数,(c-a)为偶数,那么b2为偶数,b也是偶数。
∵偶数+偶数+偶数=偶数
∴a+b+c=偶数
③ c与a一偶一奇,则(c+a)为奇数,(c-a)为奇数,那么b2为奇数,b也是奇数。
∵偶数+奇数+奇数=偶数
∴a+b+c=偶数
综合以上结论,我们知道了一组整数勾股数的3个整数相加总是偶数。
“勾股定理”的内容是:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2。这里,整数a、b、c被称为勾股数。一般我们常使用的勾股数有3,4,5;6,8,10;8,15,17;10,24,26;7,24,25等。
在直角三角形中,勾股定理的作用其一就是已知两边,求第三边。如已知两条直角边,求斜边。即a2+b2=c2 (c一般表示斜边)。若已知斜边和一条直角边,求另一条直角边,则可表示为a2=c2-b2或b2=c2 -a2。
我观察发现这些勾股数的特点,发现:它们中总有一个是3的倍数!这个发现让我好激动。我试着写了几组,果然这样。但是老师说这不能代表全部情况,必须想办法证明我的发现。在老师的帮助下,我采用了反证法来说明我的发现。
假设直角三角形三边长分别为a、b、c。c为斜边,a、b、c均为整数,且a、b、c均不能被3整除,由勾股定理得:
a2+b2=c2,所以a2=c2-b2 =(c+b)(c-b)
由于a、b、c都不能被3整除,所以a2一定不是3的倍数,我们对(c+b)(c-b)进行情况讨论:
(1) 若b、c除以3的余数都为1,设b=3m+1,c=3n+1,则c-b=(3n+1)-(3m+1)=3n-3m=3(n-m)一定能被3整除;
(2) 若b、c 除以3的余数都为2,设b=3m+2,c=3n+2,则c-b=(3n+2)-(3m+2)=3n-3m=3(n-m)也一定能被3整除;
(3) 若b、c除以3的余数一个为1,一个为2,设b=3m+1,c=3n+2,则c+b=(3n+2)+(3m+1)=3m+3n+3=3(m+n+1)仍能被3整除。所以,不论b,c为何数,(c+b)(c-b)一定是3的倍数,很显然,等式a2=(c+b)(c-b)的左右两边矛盾;所以假设不成立,所以a,b,c三个数中一定有一个数是3的倍数。
参考资料:http://blog.kcjy.cn/user1/zuokanyunqi/default.html
第2个回答 2008-02-17
勾股数
凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数。
①观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…发现这些勾股数都是奇数,且从3起就没有间断过。计算0.5(9-1),0.5(9+1)与0.5(25-1),0.5(25+1),并根据你发现的规律写出分别能表示7,24,25的股和弦的算式。
②根据①的规律,用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明。
③继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用上述类似的探索方法,之间用m的代数式来表示它们的股合弦。
设直角三角形三边长为a、b、c,由勾股定理知a2+b2=c2,这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此,要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2,求出正整数解。
例:已知在△ABC中,三边长分别是a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1),求证:∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n>1),都可构成一组勾股数,三边分别是:2n、n2-1、n2+1。如:6、8、10,8、15、17,10、24、26…等。
再来看下面这些勾股数:3、4、5,5、12、13,7、24、25,9、40、41,11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数,实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n>1)为边也可以构成勾股数,其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1,这可以通过勾股定理的逆定理获证。
观察分析上述的勾股数,可看出它们具有下列二个特点:
1、直角三角形短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续自然数。
2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与另两边的和。
掌握上述二个特点,为解一类题提供了方便。
例:直角三角形的三条边的长度是正整数,其中一条短直角边的长度是13,求这个直角三角形的周长是多少?
用特点1解:设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1,则有:169+x2=(x+1)2,解得x=84,此三角形周长=13+84+85=182。
用特点2解:此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形,因此周长=169+13=182。
勾股数的通项公式:
题目:已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数,求a,b,c满足的条件.
解答:
结论1:从题目中可以看出,a+b>c (1),联想到三角形的成立条件容易得出。
结论2:a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) (2)
从(2)中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质,令X=c+b,Y=c-b
所以:a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) (3)
首先将Y做分解,设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 (4)
又(3)式可知a^2=X*n*m^2 (5)
比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子,否则与(4)中的最大平方数矛盾。
同理可知a^2=Y*n'*m'^2 (6),X=n'*m'^2,且 n'为不相同素数的乘积
将(5)式与(6)式相乘得a^2=(m*m')^2*n'*n,(n,n'为不相同素数的乘积) (7)
根据(7)知n*n'仍然为平方数,又由于n',n均为不相同素数乘积知n=n'(自行证明,比较简单)
可知a=m'*m*n
c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m'^2)/2=n*(m^2+m'^2)/2
b=(X-Y)/2=n*(m'^2-m^2)/2
a=m*n*m'
勾股数的常用套路
所谓勾股数,一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于,任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数,所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组,比较常用也比较实用的套路有以下两种:
1、当a为大于1的奇数2n+1时,b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数,例如:
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路,而且由于两个连续自然数必然互质,所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时,b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1,例如:
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路,当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数,所以该勾股数组必然不是互质的;而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质,所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组,这条可以改成,对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1,例如:
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
所谓勾股数,一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于,任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数,所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组,比较常用也比较实用的套路有以下两种:
1、当a为大于1的奇数2n+1时,b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数,例如:
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路,而且由于两个连续自然数必然互质,所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时,b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1,例如:
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路,当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数,所以该勾股数组必然不是互质的;而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质,所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组,这条可以改成,对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1,例如:
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
勾股数
凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数。
①观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…发现这些勾股数都是奇数,且从3起就没有间断过。计算0.5(9-1),0.5(9+1)与0.5(25-1),0.5(25+1),并根据你发现的规律写出分别能表示7,24,25的股和弦的算式。
②根据①的规律,用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明。
③继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用上述类似的探索方法,之间用m的代数式来表示它们的股合弦。
设直角三角形三边长为a、b、c,由勾股定理知a2+b2=c2,这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此,要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2,求出正整数解。
例:已知在△ABC中,三边长分别是a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1),求证:∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n>1),都可构成一组勾股数,三边分别是:2n、n2-1、n2+1。如:6、8、10,8、15、17,10、24、26…等。
再来看下面这些勾股数:3、4、5,5、12、13,7、24、25,9、40、41,11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数,实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n>1)为边也可以构成勾股数,其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1,这可以通过勾股定理的逆定理获证。
观察分析上述的勾股数,可看出它们具有下列二个特点:
1、直角三角形短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续自然数。
2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与另两边的和。
掌握上述二个特点,为解一类题提供了方便。
例:直角三角形的三条边的长度是正整数,其中一条短直角边的长度是13,求这个直角三角形的周长是多少?
用特点1解:设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1,则有:169+x2=(x+1)2,解得x=84,此三角形周长=13+84+85=182。
用特点2解:此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形,因此周长=169+13=182。
勾股数的通项公式:
题目:已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数,求a,b,c满足的条件.
解答:
结论1:从题目中可以看出,a+b>c (1),联想到三角形的成立条件容易得出。
结论2:a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) (2)
从(2)中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质,令X=c+b,Y=c-b
所以:a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) (3)
首先将Y做分解,设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 (4)
又(3)式可知a^2=X*n*m^2 (5)
比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子,否则与(4)中的最大平方数矛盾。
同理可知a^2=Y*n'*m'^2 (6),X=n'*m'^2,且 n'为不相同素数的乘积
将(5)式与(6)式相乘得a^2=(m*m')^2*n'*n,(n,n'为不相同素数的乘积) (7)
根据(7)知n*n'仍然为平方数,又由于n',n均为不相同素数乘积知n=n'(自行证明,比较简单)
可知a=m'*m*n
c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m'^2)/2=n*(m^2+m'^2)/2
b=(X-Y)/2=n*(m'^2-m^2)/2
a=m*n*m'
勾股数的常用套路
所谓勾股数,一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于,任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数,所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组,比较常用也比较实用的套路有以下两种:
1、当a为大于1的奇数2n+1时,b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数,例如:
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路,而且由于两个连续自然数必然互质,所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时,b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1,例如:
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路,当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数,所以该勾股数组必然不是互质的;而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质,所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组,这条可以改成,对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1,例如:
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
第3个回答 2008-01-30
勾股数
凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数。
①观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…发现这些勾股数都是奇数,且从3起就没有间断过。计算0.5(9-1),0.5(9+1)与0.5(25-1),0.5(25+1),并根据你发现的规律写出分别能表示7,24,25的股和弦的算式。
②根据①的规律,用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明。
③继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用上述类似的探索方法,之间用m的代数式来表示它们的股合弦。
设直角三角形三边长为a、b、c,由勾股定理知a2+b2=c2,这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此,要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2,求出正整数解。
例:已知在△ABC中,三边长分别是a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1),求证:∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n>1),都可构成一组勾股数,三边分别是:2n、n2-1、n2+1。如:6、8、10,8、15、17,10、24、26…等。
再来看下面这些勾股数:3、4、5,5、12、13,7、24、25,9、40、41,11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数,实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n>1)为边也可以构成勾股数,其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1,这可以通过勾股定理的逆定理获证。
观察分析上述的勾股数,可看出它们具有下列二个特点:
1、直角三角形短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续自然数。
2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与另两边的和。
掌握上述二个特点,为解一类题提供了方便。
例:直角三角形的三条边的长度是正整数,其中一条短直角边的长度是13,求这个直角三角形的周长是多少?
用特点1解:设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1,则有:169+x2=(x+1)2,解得x=84,此三角形周长=13+84+85=182。
用特点2解:此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形,因此周长=169+13=182。
勾股数的通项公式:
题目:已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数,求a,b,c满足的条件.
解答:
结论1:从题目中可以看出,a+b>c (1),联想到三角形的成立条件容易得出。
结论2:a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) (2)
从(2)中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质,令X=c+b,Y=c-b
所以:a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) (3)
首先将Y做分解,设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 (4)
又(3)式可知a^2=X*n*m^2 (5)
比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子,否则与(4)中的最大平方数矛盾。
同理可知a^2=Y*n'*m'^2 (6),X=n'*m'^2,且 n'为不相同素数的乘积
将(5)式与(6)式相乘得a^2=(m*m')^2*n'*n,(n,n'为不相同素数的乘积) (7)
根据(7)知n*n'仍然为平方数,又由于n',n均为不相同素数乘积知n=n'(自行证明,比较简单)
可知a=m'*m*n
c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m'^2)/2=n*(m^2+m'^2)/2
b=(X-Y)/2=n*(m'^2-m^2)/2
a=m*n*m'
勾股数的常用套路
所谓勾股数,一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于,任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数,所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组,比较常用也比较实用的套路有以下两种:
1、当a为大于1的奇数2n+1时,b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数,例如:
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路,而且由于两个连续自然数必然互质,所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时,b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1,例如:
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路,当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数,所以该勾股数组必然不是互质的;而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质,所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组,这条可以改成,对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1,例如:
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
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参考资料:http://www.followtalk.com/information/2006322141842.htm