在求函数的某些变量时，为什么有时用判别式法不行，有时得用参数分离法，？在线等，本人速度采纳

Question

如题所述

Answer 1

判别式法只能确保二次方程在R范围内有解，
但有时定义域不是R(或不是自然定义域）就
不能用判别式法了

简单举例： y=(x²+1)/(x+1)
1） 若定义域是自然定义域，x∈R且x≠-1
就可以使用判别式法
y=(x²+1)/(x+1)
即 yx+y=x²+1
x²-yx+1-y=0
Δ=(-y)²-4(1-y)≥0
得：y²+4y-4≥0
解得：y≤-2-2√2或y≥-2+2√2
∴值域为 （-∞，-2-2√2]U[-2+2√2,+∞)

2）若定义域为(-1,+∞)求值域
用判别式法就会扩大范围，
因为我们不是要方程 x²-yx+1-y=0
在x≠-1内有解，而是要求方程在
（-1，+∞）内有解，条件提高了
范围就会缩小。因此仅用判别式法就不够了。

比较好的方法是分离法：
可以换元
设x+1=t>0, ∴x=t-1
∴ y=(x²+1)/(x+1) =[(t-1)²+1]/t
=(t²-2t+2)/t=t+2/t-2
根据均值定理，
t+2/t≥2√2 (当且仅当 t²=2,t=√2时取等）
∴ t+2/t-2≥2√2-2 ∴y≥2√2-2
即 函数值域为[2√2-2,+∞)
希望对你有帮助！