勒贝格积分，非负简单函数的基石
勒贝格积分，作为实分析中的重要概念，其基础建立在非负简单函数之上。简单来说，如果可测集 Ω 可以被划分为 互不相交 的可测子集 {A_i}，且每个子集上函数 f 取特定常数值 c_i，我们称之为简单函数。非负简单函数正是那些处处非负且在每个子集上取非负值的函数。
非负简单函数的积分定义
当简单函数 f 非负，其在 Ω 上的积分 ∫f dm 就是各个子集积分的和，即 ∑ c_i m(A_i)。这个定义为后续的积分理论奠定了基础。
迈向复杂：勒维定理
勒维定理展示了非负可测函数的序列在满足一定条件时积分的连续性。它陈述：如果 {f_n} 为非负可测函数序列，f_n ≤ f 且收敛于 f，则其积分也相应收敛。证明的关键在于选取简单函数并利用极限性质。
法杜定理：积分的极限性质
法杜定理进一步强化了积分的极限性质，表明如果 {f_n} 是可测函数序列，那么 &lim_{{n to infty}} ∫ f_n dm = ∫ lim_{{n to infty}} f_n dm，即积分的极限与极限函数的积分相等。
一般可测函数的积分与绝对连续性
对于一般可测函数，定义积分时考虑其在 Ω 上的值。当函数 f 在 Ω 上可积，积分的绝对连续性告诉我们，存在非负简单函数逼近 f，且其积分与 f 的积分相同。
控制收敛定理：勒贝格的严谨性
勒贝格控制收敛定理表明，如果函数列在某些条件下满足收敛，那么其积分不仅在点wise收敛，而且在积分意义上也收敛，且极限值等于原函数的积分。
与黎曼积分的联系与区别
尽管勒贝格积分是黎曼积分的推广，它不包括黎曼反常积分，这意味着勒贝格积分更严谨，适用于更广泛的函数集。
黎曼积分的极限定理与富比尼定理
黎曼可积函数的连续性定理表明，若函数在某个区间上黎曼可积，几乎处处连续。而富比尼定理揭示了勒贝格积分的交换性，即对可积函数 f 和 g，∫ (f × g) dm = ∫ f dm × ∫ g dm，这在积分理论中具有重要地位。