试证如果一个三位数能被37整除,那么就有另一个由同样数字组成的3位数能被37整除

Question

如题所述

Answer 1

37*3=111
设3位数是(abc)
如果a最小，则(bc)-(aa)是37倍数＝00、48或者84,　　所以acb也是37倍数。
如果c最小，则同样bac也是37的倍数。
如果b最小，(a0c)-（b0b）=37倍数＝000或者407、703，分别与0、74、37都是37的倍数。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 与cba 是37倍数
证毕。

Answer 2

任意三位数N=100a+10b+c,其中a不等于0,即N为由a，b，c三个数字组成的三位数.
N mod 37=26a+10b+c
当b不等于0时，
10N mod 37=260a+100b+10c mod 37=a+ 26b+10c mod 37=100b+10c+a mod 37
即如果三位数‘abc’=N能被37整除则‘bca’也能被37整除（如259与592）。
当b=0时
N=100a+c
N mod 37=26a+c
26N mod37=676a+26c mod 37= 10a+26c mod 37=100c+10a mod 37
即当'a0c'=N能被37整除时，'ca0'也能被37整除（如703与370）。