关于二次型 求出特征值后，能不能不写出正交矩阵，而直接写出标准型。

Question

Y1*2 Y2*2 Y3*2 前面的系数的顺序是跟据正交矩阵的出来的 还是随便写的

Answer 1

1. 可以直接写出标准形
Y1*2 Y2*2 Y3*2 前面的系数即特征值
当不写正交矩阵(或可逆矩阵)时, 顺序可任意写

2. Y1*2 Y2*2 Y3*2 前面的系数的顺序 与 正交矩阵的列向量是对应的
即 特征值(系数) 对应 特征向量(正交矩阵的列)追问

也就是说当要求写出正交矩阵时Y1Y2Y3前面的系数根据对应的XTAX来写，若没要求的话 前面的系数顺序可随意
如F(X1X2X3)=XI*2+5X2*2+5x3*+2x1x2-4x1x2 特征值 0 5 6
要求正交矩阵的就写成5Y2*2+6Y3*2
没要求的话 Y1*2 Y2*2 Y3*2
系数 0 5 6
5 0 6
6 5 0
都可以么

追答

如F(X1X2X3)=XI*2+5X2*2+5x3*+2x1x2-4x1x2 特征值 0 5 6
只让写出标准形时, 系数什么顺序都可以

若要求写出正交矩阵, 则
系数(即特征值)的顺序, 必须与可逆矩阵P的列对应
比如特征值 a1,a2,...,an, 对应的特征向量分别是 x1,x2,...,xn
则 P=(x1,x2,...,xn)
f = a1y1^2+...+anyn^2
注意: xi 是属于 ai 的特征向量