高中数学 立体几何

Question

三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC的射影为O ，且向量OA+向量OB+向量OC=零向量 A点在侧面PBC的射影为△PBC的垂心，PA=6，求三棱锥体积的最大值

Answer 1

设△PBC垂心为H。连接AH。连接PH延长交BC于M，连接AM。在△PAM中做PN垂直于AM。
由题目中的向量OA+向量OB+向量OC=零向量条件可知O点为△ABC的重心（你画画图就一目了然了，而且这是个重要性质，常用到）。又因为PM⊥BC，且AH⊥BC（AH⊥面PBC），所以BC⊥面PAM。所以BC⊥PN。又因为PN⊥AM，所以PN⊥面ABC，所以N与O点重合。因为BC⊥面PAM，所以AM⊥BC，即AM既是BC边垂线又是BC边中线，所以AB=AC。因为M为BC中点，所以PM也是其中线，所以PB=PC。
设PB=PC=a，MB=MC=b，所以PM=根号下（a^2-b^2）.连接BH延长交PC于K。则BK为高线。根据△BMH∽△PCM可求出MH=b^2/根号下（a^2-b^2）.在△PAM中，有△AMH∽△PMO，又因为AO=2OM。所以AM/PM=MH/OM.可求出AM=（根3）b/3.这样因为PA=6，且AO=（2根3）b/3，所以PO=根号下（36-4b^2/3）.这样三棱锥体积为PO*AM*BC/6=根号下（36-4b^2/3）*（根3）b*2b/6=根号下[（36-4b^2/3）*(2b^2/3)*(2b^2/3)]*（根3）/2=<根号下{[(36-4b^2/3+2b^2/3+2b^2/3)/3]^3}*（根3）/2=36(最后这一步运用了基本不等式）
【【不清楚，再问；满意， 请采纳！愿你开☆，祝你好运！！】】

Answer 2

设△PBC垂心为H。连接AH。连接PH延长交BC于M，连接AM。在△PAM中做PN垂直于AM。由题目中的向量OA+向量OB+向量OC=零向量条件可知O点为△ABC的重心（你画画图就一目了然了，而且这是个重要性质，常用到）。又因为PM⊥BC，且AH⊥BC（AH⊥面PBC），所以BC⊥面PAM。所以BC⊥PN。又因为PN⊥AM，所以PN⊥面ABC，所以N与O点重合。因为BC⊥面PAM，所以AM⊥BC，即AM既是BC边垂线又是BC边中线，所以AB=AC。因为M为BC中点，所以PM也是其中线，所以PB=PC。设PB=PC=a，MB=MC=b，所以PM=根号下（a^2-b^2）.连接BH延长交PC于K。则BK为高线。根据△BMH∽△PCM可求出MH=b^2/根号下（a^2-b^2）.在△PAM中，有△AMH∽△PMO，又因为AO=2OM。所以AM/PM=MH/OM.可求出AM=（根3）b/3.这样因为PA=6，且AO=（2根3）b/3，所以PO=根号下（36-4b^2/3）.这样三棱锥体积为PO*AM*BC/6=根号下（36-4b^2/3）*（根3）b*2b/6=根号下[（36-4b^2/3）*(2b^2/3)*(2b^2/3)]*（根3）/2=<根号下{[(36-4b^2/3+2b^2/3+2b^2/3)/3]^3}*（根3）/2=36