三阶矩阵3 6 9 15 30 45 21 42 63的十次方，求特征值的时候能不能先将矩阵化简再代入，要详细步骤，谢谢

Question

如题所述

Answer 1

不能先化简。还是要直接计算A-入E的行列式。是要求A的10次方吗？
这道题每行3个数是有规律的。3+6=9, 15+30=45.....
所以计算A-入E的行列式时。
c3-c2-c1.那么c3变成入 入 -入。就可以把第一个特征值入抽出来。c3变成1 1 -1.
所以r2-r1 r3+r1.再按c3展开。得lA-入El=入²(96-入)
再分别求出三个特征向量。
得A^10=P∧^10P^(-1)

Answer 2

分析: 容易看出R(A)=1 (2,3行都是第1行的倍数)
所以 A 可以表示为两个向量之积
可用一特殊方法求A的n次幂, 而不是用特征值方法.

另: 若用特征值方法, 不能先将矩阵化简. 因为矩阵的等价不保证有相同的特征值

解: 设 α=(1,5,7)^T, β=(3,6,9)^T
则 A = αβ^T, 且 β^Tα = 96.
所以 A^10 = (αβ^T)(αβ^T)(αβ^T)...(αβ^T)(αβ^T)
= α(β^Tα)(β^Tα)(β^T...α)(β^Tα)β^T
= (96^9) αβ^T
= 96^9 A.本回答被提问者和网友采纳