初三数学竞赛题~急用~谢谢

Question

三角形ABC中BC=5,AC=12,AB=13,在边AB、AC上分别取D、E,是线段DE将三角形ABC分成面积相等的两部分，求这样的线段DE的最小长度
图片：http://hi.baidu.com/%B5%AD%D7%CF%C9%AB%B5%C4%C3%CE/album/item/baccc554e542bd57d009066f.html

Answer 1

由于5^2+12^2=13^2，故三角形ABC是直角三角形
设AE、AD、DE分别为x、y、z，要求z的最小值。

S(ADE)=S(ABC)/2=5*12/4=15
又S(ADE)=(1/2)xy(sinA)=(1/2)xy*(5/13)=15
所以xy=78，则x^2+y^2>=2xy=156
于是由余弦定理得：
z^2=x^2+y^2-2xy(cosA)=x^2+y^2-2*78*(12/13)=x^2+y^2-144>=156-144=12
所以z>=2倍根号3，等号成立时有x=y=根号78
即DE最小长度为2倍根号3

Answer 2

要用高中知识:设AE=X,AD=Y,S△AED=(1/2)XYsin∠A=30.
sin∠A=5/13.XY=12*13.
cos∠A=12/13
ED^2=X^2+Y^2-2XYcos∠A≥2XY-2XYcos∠A
=2√6.
当X=Y时,即X=√(12*13)取最小值.

Answer 3

DE=BC*根号2/2=5*根号2/2
(根据相似三角形)