2007年全国初中数学竞赛试题及答案
考试时间：2007年4月1日上午9：30—11：30
（温州市鹿城区临江中学 陈昆明 解答）
一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分）
1．方程组 的实数解的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解：选（A）。当x≥0时，则有y－|y|=6,无解；当x<0时，则y＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3.
2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）
（A）14 （B）16 （C）18 （D）20
解：选（B）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种
3．已知 、 、 是三个互不相等的实数，且三个关于 的一元二次方程 ，
， 恰有一个公共实数根，则 的值为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
解：选（D）。设这三条方程唯一公共实数根为t，则 ， ，
三式相加得： ，因为 ，所以有a+b+c=0,从而有 ，
所以 ＝ ＝
4．已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相
交于点D，E．若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经
过△ABC的（ ）
（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心
解：选（B）。如图△ADE外接圆的圆心为点F，由题意知：⊙O与⊙F是等圆，
且弧DmE＝弧DnE，所以∠EAB＝∠ABE，∠DAC＝∠ACD，
即△ABE与△ACD都是等腰三角形。分别过点E，F作AB，AC边上的垂线，
相交于点H，则点H是△ABC的外心。又因为∠KHD＝∠ACD，
所以∠DHE+∠ACD＝∠DHE+∠KHD＝180°，即点H，D，C，E在同一个圆上，
也即点H在⊙O上，因而⊙O经过△ABC的外心。
5．方程 的整数解 ， 的个数是（ ）
（A）0 （B）1 （C）3 （D）无穷多
解：选（A）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．如图，点A，C都在函数 的图像上，点B，D都在 轴上，
且使得△OAB， △BCD都是等边三角形，则点D的坐标为 ．
解：填 。设OB＝2a，BD＝2b，由△OAB，△BCD都是等边三角形，得
，把点A，C坐标代入 ，解得： ，
即
7．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，CA = 4．点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段BP把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．
解：填4。
连结OP，OB，则所求面积之差的绝对值＝ ＝2×2×2÷2＝4。
8．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G = ，则 ．
解：填6。如图：∠A+∠E+∠F＝360°-∠α，∠B+∠C+∠G=360°-∠β，
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝（360°-∠α）+（360°-∠β）+∠D
＝540°＝
9．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数
的图像与线段AB只有一个交点，则 的取值范围是 ．
解：填
（1）若图像的顶点在AB上，则有 解得：
（2）若图像的顶点在x轴下方，则有 或
分别解之，得 综上，得：
10．已知对于任意正整数 ，都有 ，则 ．
解：填 。由 及 得
所以 ，于是
三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）
11．已知抛物线 ： 和抛物线 ： 相交于A，B两点．点P在抛物线 上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线 上，也位于点A和点B之间．
（1）求线段AB的长；
（2）当PQ‖ 轴时，求PQ长度的最大值．
解：（1）由 解得
不妨设点A在点B的左侧，则A（-2，6），B（2，-6）
所以
（2）设P（a,b），则-2≤a≤2， ，
因为PQ‖y轴，所以点Q的横坐标为a，则
所以PQ＝ ＝
即当a＝0（属于-2≤a≤2）时，PQ的最大值为8。
12．已知 ， 都是正整数，试问关于 的方程 是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．
解：假设方程 有两个整数解为 ，
由 知 ，
下证（1）
事实上，若 ，则 ， ，
即 ，因a，b为正整数,所以ab＝1，2，3或4，
易知不存在a，b的值满足
（2）不妨设
则 ，即 ，
所以有 ，因 是正整数，故
把 代入原方程得， 即 ，也即
所以 ，因a,b都是正整数，
则 解得：
由 得
综上，存在正整数a＝1，b=3或a=3，b=1，使得
方程 有两个整数解为 。
13．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足 ．若CD，FE的延长线相交于点G，△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P，连接PA，PB，PC，PD．
求证：
（1） ；
（2）△PAB∽△PDC．
证明：（1）连结PG，PE，PF，
四边形PGED和四边形PGFC都内接于圆
（2）
14．（1）是否存在正整数 ， ，使得 ？
（2）设 是给定的正整数，是否存在正整数 ， ，使得 ？
解：（1）由 得：
又因为当n为正整数时， ，所以 不是完全平方数，即m+1不是正整数，故不存在正整数 ， ，使得
(2)当k=3时，由 得： ，
若关于m的方程有正整数解，则 （ 为正整数），
即
所以 ，
解得： 所以不存在正整数 ， ，使得 。
当 时，①若 ，代入 。整理得
设 （ 为正整数）
即
令 ，解得 ，此时
②若 ，代入 。整理得
设 （ 为正整数）
即
令 ，解得 ，
此时 并且m，n的值都是正整数。
综上，当 时，不存在正整数 ， ，使得 ；
当 时，存在正整数 ，使得 ； 在三角形ABC中,AD垂直BC于D,AB+BD=CD.求证角B=2角C
证明:在DC上截取DE=DB,连接AE
在三角形ABD和三角形AED中
AD为公共边
BD=ED
角ADB=角ADE=90度
所以三角形ABD全等于三角形AED
所以AB=AE,角B=角AED,BD=ED
又DC=AB+BD=AB+ED=ED+EC
所以AB=EC=AE,角C=角EAC
当 时，存在正整数 ，使得 。
够了吗
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