2007年全国初中数学竞赛试题及答案
考试时间:2007年4月1日上午9:30—11:30
(温州市鹿城区临江中学 陈昆明 解答)
一、选择题:(共5小题,每小题6分,满分30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后括号里.不填、多填或错填都得0分)
1.方程组 的实数解的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解:选(A)。当x≥0时,则有y-|y|=6,无解;当x<0时,则y+|y|=18,解得:y=9,此时x=-3.
2.口袋中有20个球,其中白球9个,红球5个,黑球6个.现从中任取10个球,使得白球不少于2个但不多于8个,红球不少于2个,黑球不多于3个,那么上述取法的种数是( )
(A)14 (B)16 (C)18 (D)20
解:选(B)。只用考虑红球与黑球各有4种选择:红球(2,3,4,5),黑球(0,1,2,3)共4×4=16种
3.已知 、 、 是三个互不相等的实数,且三个关于 的一元二次方程 ,
, 恰有一个公共实数根,则 的值为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解:选(D)。设这三条方程唯一公共实数根为t,则 , ,
三式相加得: ,因为 ,所以有a+b+c=0,从而有 ,
所以 = =
4.已知△ABC为锐角三角形,⊙O经过点B,C,且与边AB,AC分别相
交于点D,E.若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等,则⊙O一定经
过△ABC的( )
(A)内心 (B)外心 (C)重心 (D)垂心
解:选(B)。如图△ADE外接圆的圆心为点F,由题意知:⊙O与⊙F是等圆,
且弧DmE=弧DnE,所以∠EAB=∠ABE,∠DAC=∠ACD,
即△ABE与△ACD都是等腰三角形。分别过点E,F作AB,AC边上的垂线,
相交于点H,则点H是△ABC的外心。又因为∠KHD=∠ACD,
所以∠DHE+∠ACD=∠DHE+∠KHD=180°,即点H,D,C,E在同一个圆上,
也即点H在⊙O上,因而⊙O经过△ABC的外心。
5.方程 的整数解 , 的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)3 (D)无穷多
解:选(A)。原方程可变形为:x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2,左边是6的倍数,而右边不是6的倍数。
二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)
6.如图,点A,C都在函数 的图像上,点B,D都在 轴上,
且使得△OAB, △BCD都是等边三角形,则点D的坐标为 .
解:填 。设OB=2a,BD=2b,由△OAB,△BCD都是等边三角形,得
,把点A,C坐标代入 ,解得: ,
即
7.如图,在直角三角形ABC中,∠ACB = 90°,CA = 4.点P是半圆弧AC的中点,连接BP,线段BP把图形APCB(指半圆和三角形ABC组成的图形)分成两部分,则这两部分面积之差的绝对值是 .
解:填4。
连结OP,OB,则所求面积之差的绝对值= =2×2×2÷2=4。
8.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G = ,则 .
解:填6。如图:∠A+∠E+∠F=360°-∠α,∠B+∠C+∠G=360°-∠β,
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=(360°-∠α)+(360°-∠β)+∠D
=540°=
9.已知点A,B的坐标分别为(1,0),(2,0).若二次函数
的图像与线段AB只有一个交点,则 的取值范围是 .
解:填
(1)若图像的顶点在AB上,则有 解得:
(2)若图像的顶点在x轴下方,则有 或
分别解之,得 综上,得:
10.已知对于任意正整数 ,都有 ,则 .
解:填 。由 及 得
所以 ,于是
三、解答题(共4题,每题15分,满分60分)
11.已知抛物线 : 和抛物线 : 相交于A,B两点.点P在抛物线 上,且位于点A和点B之间;点Q在抛物线 上,也位于点A和点B之间.
(1)求线段AB的长;
(2)当PQ‖ 轴时,求PQ长度的最大值.
解:(1)由 解得
不妨设点A在点B的左侧,则A(-2,6),B(2,-6)
所以
(2)设P(a,b),则-2≤a≤2, ,
因为PQ‖y轴,所以点Q的横坐标为a,则
所以PQ= =
即当a=0(属于-2≤a≤2)时,PQ的最大值为8。
12.已知 , 都是正整数,试问关于 的方程 是否有两个整数解?如果有,请把它们求出来;如果没有,请给出证明.
解:假设方程 有两个整数解为 ,
由 知 ,
下证(1)
事实上,若 ,则 , ,
即 ,因a,b为正整数,所以ab=1,2,3或4,
易知不存在a,b的值满足
(2)不妨设
则 ,即 ,
所以有 ,因 是正整数,故
把 代入原方程得, 即 ,也即
所以 ,因a,b都是正整数,
则 解得:
由 得
综上,存在正整数a=1,b=3或a=3,b=1,使得
方程 有两个整数解为 。
13.如图,点E,F分别在四边形ABCD的边AD,BC的延长线上,且满足 .若CD,FE的延长线相交于点G,△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P,连接PA,PB,PC,PD.
求证:
(1) ;
(2)△PAB∽△PDC.
证明:(1)连结PG,PE,PF,
四边形PGED和四边形PGFC都内接于圆
(2)
14.(1)是否存在正整数 , ,使得 ?
(2)设 是给定的正整数,是否存在正整数 , ,使得 ?
解:(1)由 得:
又因为当n为正整数时, ,所以 不是完全平方数,即m+1不是正整数,故不存在正整数 , ,使得
(2)当k=3时,由 得: ,
若关于m的方程有正整数解,则 ( 为正整数),
即
所以 ,
解得: 所以不存在正整数 , ,使得 。
当 时,①若 ,代入 。整理得
设 ( 为正整数)
即
令 ,解得 ,此时
②若 ,代入 。整理得
设 ( 为正整数)
即
令 ,解得 ,
此时 并且m,n的值都是正整数。
综上,当 时,不存在正整数 , ,使得 ;
当 时,存在正整数 ,使得 ; 在三角形ABC中,AD垂直BC于D,AB+BD=CD.求证角B=2角C
证明:在DC上截取DE=DB,连接AE
在三角形ABD和三角形AED中
AD为公共边
BD=ED
角ADB=角ADE=90度
所以三角形ABD全等于三角形AED
所以AB=AE,角B=角AED,BD=ED
又DC=AB+BD=AB+ED=ED+EC
所以AB=EC=AE,角C=角EAC
当 时,存在正整数 ,使得 。
够了吗
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