设f（x）=sinx+∫（0到x）tf（t）dt-x∫（0到x）f（t）dt，其中f（x）为连续函数，求f（x）

Question

如题所述

Answer 1

把积分方程转化为微分方程，对两边同时求导得到
df/dx=cosx+xf-xf-∫f(t)dt
再求导
f''(x)=-sinx-f(x)
f''+f=-sinx
变成了二阶线性常系数微分方程
然后就是先求齐次通解再求非齐次特解再相加的过程，就是一般的这类微分方程的解题办法，会了吧。追问

前面的我会，就是结果算的和答案不一样，也不知道哪算错了，我算的是f（x）=sinx。

追答

你把f(x)=sinx代入f''+f=-sinx这条方程也发现不对啊。
我解一次
特征方程是
λ^2+1=0
λ=+i
e^(ix)=cosx+isinx
y(齐次方程通解)=C1*cosx+C2*sinx
由于 -i 是特征方程的其中一个解，设特解是 Axcosx
代入得到 -Asinx-Axcosx-Asinx+Axcosx=-sinx
A=1/2
y=C1*cosx+C2*sinx+1/2*xcosx
是不是这个？

追问

c1，c2可以求出来的，答案是f（x）=1/2（sinx+xcosx）。

追答

看来我有点忘记了，C1C2能求？这个怎么求啊？有初始条件吗？答案有过程吗，打出来看看

追问

“设特解是 Axcosx”有疑问 为什么不是x（Acosx+Bsinx）

追答

我简化了，正常解题时是应该向你这样设。或者把C1=C1(x),C2=C2(x)，常数变易法，不过在这道题中就太麻烦了。

Answer 2

对f（x）求一次导数得到导函数h（x）
：
h（x）=cosx+xf（x）-∫（0到x）f（t）dt- xf（x）=cos-∫（0到x）f（t）dt
再求导
f''(x)=-sinx-f(x)
f''+f=-sinx
变成了二阶线性常系数微分方程
后面的就很好解了

Answer 3

对等式两边两次求导数，得到一个简单的方程式，然后套书上的公式。毕业太久了，那个方程叫什么名字忘记了，汗