可能允许的最大形位误差值怎么算？

Question

如题所述

Answer 1

在数值计算中，机器精度(machine epsilon)通常用于表示计算机在表示实数时所能达到的最大精度。机器精度取决于计算机的位数，一般表示为一个很小的数值。在IEEE 754标准中，单精度浮点数的机器精度是2的-23次方，大约是1.19e-7；双精度浮点数的机器精度是2的-52次方，大约是2.22e-16。
形位误差指的是计算结果与实际值之间的差异。在数值计算中，可能允许的最大形位误差值通常与机器精度有关。假设机器精度为ε，那么对于一个计算结果x和其对应的真实值y，可能允许的最大形位误差值为：
| (x - y) / y | ≤ ε
其中|·|表示绝对值。这个公式可以解释为，计算结果与真实值之间的相对误差应该小于等于机器精度。如果相对误差超过了机器精度，则认为计算结果不可靠，需要进一步优化算法或增加计算精度。
需要注意的是，该公式仅适用于一般情况下的浮点数计算。在特殊情况下，例如矩阵计算、非线性方程求解等复杂计算中，可能需要根据具体问题和算法特点来确定可能允许的最大形位误差值。