可设函数为y=ax^2+bx+c（a≠0），把三个点代入式子得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。二、知道函数图象与x轴的交点坐标及另一点函数上的点 可设函数为y=a(x-x₁)(x-x₂)，把第一个交点的x值入x₁中，第二个交点的x值代入x₂中，把另一点的值代入x、y中求出a。
设ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0) 两个根为X₁和X₂ 则X₁+X₂= -b/a X₁·X₂=c/a 例：已知顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，设y=a(x-1)^2+2,把（3，10）代入上式，解得y=2(x-1)^2+2 四、牛顿插值公式y=(y₃(x-x₁)(x-x₂))/((x₃-x₁)(x₃-x₂)+(y₂(x-x₁)(x-x₃))/((x₂-x₁)(x₂-x₃)+(y₁(x-x₂)(x-x₃))/((x₁-x₂)(x₁-x₃)。由此可引导出交点式的系数a=y₁/(x₁·x₂)(y₁为截距) 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
一般式
y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为（-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
顶点式
y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
交点式
y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和 B（x₂，0）的抛物线，即b^2-4ac≥0]
由一般式变为交点式的步骤：
二次函数(16张) ∵X₁+x₂=-b/a x1·x₂=c/a ∴y=ax^2+bx+c =a（x₂+b/ax+c/a） =a[﹙x₂-(x₁+x₂)x+x₁x₂]=a(x-x₁)(x-x₂) 重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
编辑本段二次函数与X轴交点的情况
当△=b^2-4ac>0时， 函数图像与x轴有两个交点。 当△=b^2-4ac=0时,函数图像与x轴有一个交点。 当△=b^2-4ac<0时，函数图像与x轴没有交点。
编辑本段求根公式
求根公式
x是自变量，y是因变量，y是x的二次函数 x1,2=[-b±(√(b^2-4ac)]/2a (即一元二次方程求根公式）（如右图） 求根的方法还有因式分解法和配方法
图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。 注意：草图要有 : 1. 本身图像，旁边注明函数。 2. 画出对称轴，并注明直线X=什么 （X= -b/2a） 3. 与X轴交点坐标 （x1,y1);(x2, y2)，与Y轴交点坐标(0,c)，顶点坐标(-b/2a, (4ac-b^2/4a).
轴对称
1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h或者x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。 特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0） a,b同号，对称轴在y轴左侧 b=0,对称轴是y轴 a,b异号，对称轴在y轴右侧
顶点
二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k ) 当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)²;+k h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a
开口
二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。 当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则二次函数图像的开口越小。
决定对称轴位置的因素
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号 当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号 可简单记忆为同左异右，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。 事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的 斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
决定二次函数图像与y轴交点的因素
常数项c决定二次函数图像与y轴交点。 二次函数图像与y轴交于（0,C） 注意：顶点坐标为（h,k) 与y轴交于（0,C)
二次函数图像与x轴交点个数
a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。 k=0时，二次函数图像与x轴有1个交点。 a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点。 当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymix=k，在x<h范围内是减函数，在x>h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k 当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymix=k，在x>h范围内是增函数，在x<h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y<k 当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数
特殊值的形式
7.特殊值的形式 ①当x=1时 y=a+ah2+2ah+k ②当x=-1时 y=a+ah2-2ah+k ③当x=2时 y=4a+ah2+8ah+k ④当x=-2时 y=4a+ah2-8ah+k
二次函数的性质
8.定义域：R 值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷） 奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 。 周期性：无 解析式： ①y=ax^2+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a>0，则抛物线开口朝上；a<0，则抛物线开口朝下； ⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b²)/4a）； ⑷Δ=b2-4ac, Δ>0，图象与x轴交于两点： （[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）； Δ=0，图象与x轴交于一点： （-b/2a，0）； Δ<0，图象与x轴无交点； 特殊地，Δ=4，顶点与两零点围成的三角形为等腰直角三角形；Δ=12，顶点与两零点围成的三角形为等边三角形。 ②y=a(x-h)2+k[顶点式] 此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a ③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0） 对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≦（X1+X2）/2时Y随X 的增大而减小 此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连 用）。 交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。 增减性 当a>0且y在对称轴右侧时，y随x增大而增大，y在对称轴左侧则相反 当a<0且y在对称轴右侧时，y随x增大而减小，y在对称轴左侧则相反
编辑本段两图像对称
对于一般式： ①y=ax^2+bx+c与y=ax^2-bx+c两图像关于y轴对称 ②y=ax^2+bx+c与y=-ax^2-bx-c两图像关于x轴对称 ③y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx+c-2b^2*|a|/4a^2关于顶点对称 ④y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx-c关于原点对称。 对于顶点式： ①y=a(x-h)^2+k与y=a(x+h)^2+k两图像关于y轴对称，即顶点（h,k）和（－h,k）关于y轴对称，横坐标相反，纵坐标相同。 ②y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2-k两图像关于x轴对称，即顶点（h,k）和（h,－k）关于y轴对称，横坐标相同，纵坐标相反。 ③y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2+k关于顶点对称，即顶点（h,k）和（h,k）相同，开口方向相反。 ④y=a(x-h)^2+k与y=-a(x+h)^2-k关于原点对称，即顶点（h,k）和（－h,－k）关于原点对称，横坐标相反，纵坐标相反。 （其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况）
编辑本段二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 即ax^2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2;+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 顶点坐标 对 称 轴 y=ax^2(0，0) x=0 y=ax^2+K (0，K) x=0 y=a(x-h)^2(h，0) x=h y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h y=ax^2+bx+c (-b/2a，(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a 当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到， 当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k（h>0,k>0）的图象 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x-h)^2+k（h>0,k<0）的图象 当h<0,k>0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位，就可得到y=a(x+h)^2+k（h<0,k>0）的图象 当h<0,k<0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x+h)^2+k（h<0,k<0）的图象 在向上或向下。向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。 因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图象提供了方便。 2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)。 3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大。若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小。 4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点： (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； (2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x1-x2| =√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标） 当△=0．图象与x轴只有一个交点； 当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。 5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a。 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。 6．用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： y=ax^2+bx+c(a≠0)。 (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)。 (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。
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