公差不为零的等差数列中，a2，a5，a14成等比数列，a1=2,求an的通项公式，（1）求an的通项公式

Question

（2）当c1=1时，且cn+1=cn+3的1/2an次方，求cn的通项公式

Answer 1

1、
a2、a5、a14成等比数列
a5²=a2×a14
(a1+4d)²=(a1+d)(a1+13d)
a1=2代入，整理，得
d(d-4)=0
d=0(公差不为0，舍去)或d=4
an=a1+(n-1)d=2+4(n-1)=4n-2
n=1时，a1=4-2=2，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=4n-2。
2、
c(n+1)=cn+3^(an/2)=cn+3^[(4n-2)/2]=cn+3^(2n-1)
c(n+1)-cn=3^(2n-1)
cn-c(n-1)=3^(2n-3)
…………
c2-c1=3^(2×1-1)
累加
cn-c1=3^(2×1-1)+3^(2×2-1)+...+3^(2n-1)=3^1+3^3+...+3^(2n-1)=3(9^n-1)/(9-1)=(3/8)(9^n-1)
cn=c1+(3/8)(9^n-1)=1+3^(2n+1)/8-3/8=3^(2n+1)/8 + 5/8
n=1时，c1=3^3/8+5/8=4，与已知不符。
综上，得数列{cn}的通项公式为
cn=1 n=1
3^(2n+1)/8 + 5/8 n≥2