吴炳璋算法时间复杂度分析

Question

如题所述

Answer 1

在进行吴炳璋算法的时间复杂度分析时，我们首先简化问题，假设输入字符串s的长度为1。设s在STR中的概率为x[i]，则x[i]的取值可以根据UBerz(STR,s,1,length(s))的返回值来确定：

1. 如果UBerz(STR,s,1,length(s))不等于i，x[i]为0；
2. 如果UBerz(STR,s,1,length(s))等于i，x[i]为1。

这样，所有x[i]的和可以表示为：sigma(x[i]|i=1,2,3..length(STR))，其结果为1，因为只有在满足特定条件时x[i]才会为1，其他全部为0。

结合伪代码中的判断，实际调用(6)的概率为：sigma(x[i]|i=st,st+1...,(st+ed) div 2)。这个概率等于整个字符串的概率，即1。这是因为由Young不等式保证了sigma(x[i]|i=1,2...st-1)和sigma(x[i]|i=(st+ed) div 2...length(STR))这两个部分的和都大于0，使得整个表达式严格满足不等式。

吴炳璋算法的时间复杂度理论上是O(n)，使用了大O表示法，这表示它与输入字符串长度n成线性关系。然而，实际运行中的效率远超过这个理论界限。在40%的测试案例中，其效率超越经典的KMP算法；在29%的情况下，甚至只用了KMP算法所需时间的三分之一左右。这表明算法在实际应用中具有显著的优势。