周期函数相乘还是周期函数吗？

Question

如题所述

Answer 1

当两个周期函数相乘时，结果不一定是周期函数。具体是否为周期函数取决于两个周期函数的周期是否有公共倍数。
如果两个周期函数的周期存在公共倍数，那么它们的乘积仍然是周期函数，并且周期是这两个周期的最小公共倍数。
例如，sin(x)和cos(x)都是以2π为周期的函数，它们的乘积为sin(x)cos(x)，仍然是以2π为周期的函数。
然而，如果两个周期函数的周期没有公共倍数，那么它们的乘积将不再是周期函数。例如，sin(x)和sin(2x)的周期分别是2π和π，它们的乘积为sin(x)sin(2x)，不再是周期函数，因为它的周期不是一个有理数倍的π。
因此，判断两个周期函数相乘是否为周期函数需要考虑它们周期的关系。

Answer 2

周期函数的乘积是周期函数。两个周期函数f（x）和g（x），它们的周期分别是T1和T2。对于任意的x，根据周期函数的定义，f（x+T1）=f（x）和g（x+T2）=g（x）。它们的乘积函数h（x）=f（x）*g（x）。对于任意的x，有：h（x+T1）=f（x+T1）*g（x+T1）同样地，也可以得到：h（x+T2）=f（x）*g（x）。这意味着乘积函数h（x）也具有周期，其周期是T1和T2的最小公倍数。因此，周期函数的乘积仍然是一个周期函数。周期函数是指具有重复性质的数学函数，其函数值在一定间隔内重复出现相同的模式。换句话说，周期函数在某一固定的间隔内，其函数值具有相同的周期性变化。