在数学的浩瀚星海中，数列如同璀璨的星辰，我们从中提炼出一个特别的子类——常数项级数。它由数列 an 构成，每一个项都是恒定的，赋予了级数独特的魅力。我们将其称为级数，其中，an 即为一般项，而级数的部分和通过 Sn 表现，其收敛于某个 L 时，我们称其为收敛。
让我们通过实例来深入理解：求解级数 1/n 的收敛性。原式化简为lim Sn = 1，显然，随着n的增大，部分和趋于常数1，因此我们说它收敛于 1。这就是收敛级数的一个关键性质。
等比级数的微妙之处
等比级数1/2^n 的敛散性是常数项级数研究的重点。当公比 r 大于1时，级数发散；当 0 < r < 1 时，我们回顾了例4的结果，它也发散；而当 r = 1，则收敛于1。这就是等比级数收敛的决定性条件。
收敛级数有其独特的性质：比如，改变有限项对收敛性无影响，但影响其和；若一个级数收敛，任何对其的括号化操作，新级数依然收敛，反之则发散。这就是我们探讨的推论1和2。
深入理解与证明
举个例子，我们证明调和级数∑ 1/n 的发散。反证法是关键，假设它收敛于L，但这将导致矛盾，因为部分和将无限接近但永远不会达到L。因此，调和级数必然发散。
这只是常数项级数冰山一角，深入理解级数的性质有助于我们更好地处理数学问题。更多高深的理论和实例，可以在我的公众号文章列表和知乎专栏中找到，那里有更丰富的资源等待你的探索。