求解一道定积分等式证明题

Question

求解

Answer 1

∫(上限1，下限0) x^m *(1-x)^n dx
= 令t=x-(1/2)， ∫(上限1/2，下限-1/2) ((1/2)+t)^m *((1/2)-t)^n dt
所以：
∫(上限1，下限0) x^n *(1-x)^m dx
= 令t=x-(1/2)， ∫(上限1/2，下限-1/2) ((1/2)+t)^n *((1/2)-t)^m dt
= -∫(上限-1/2，下限1/2) ((1/2)-t)^n *((1/2)+t)^m dt
= ∫(上限1/2，下限-1/2) ((1/2)+t)^m *((1/2)-t)^n dt
=∫(上限1，下限0) x^m *(1-x)^n dx