∫2xe²ˣ dx的导数是多少？

Question

如题所述

Answer 1

【求解答案】∫2xe²ˣdx=xe²ˣ - 1/2e²ˣ+C

【求解方法】本题主要考察分部积分法和凑微分法在求解积分中的应用能力。

1、分部积分法。∫xe²ˣdx=1/2∫xde²ˣ，令u=x，v'=e²ˣ，u'=1，v=e²ˣ，∫xde²ˣ→∫udv=uv-∫vdu=xe²ˣ-∫e²ˣdx

2、凑微分法。∫e²ˣdx=1/2∫e²ˣd(2x)=1/2e²ˣ

【求解过程】

∫2xe²ˣdx=2∫xe²ˣdx=∫xde²ˣ=xe²ˣ-∫e²ˣdx=xe²ˣ-1/2∫e²ˣd(2x)=xe²ˣ-1/2e²ˣ+C

【函数与导函数图形】

令C=0时，可以得到f(x)的图形和f'(x)的图形。

【本题知识点】

1、分部积分法。分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。

2、分部积分的顺序。常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀:“反对幂指三”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。

3、凑微分法。凑微分法，就是把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法，换元积分两种方法中第一类换元积分法的别称。把dx变换成du的形式，[u=f(x)]把积分式中的x的的函数，变换成u的函数，使积分式符合公式形式。这样就很方便的进行积分再变换成x的形式。

例如：∫cos3XdX，公式：∫cosXdX=sinX+C。设：u=3X，du=3dX，则有

∫cos3XdX=∫(cos3X)/3d(3X)=1/3∫cosudu=1/3sinu+C=1/3sin3X+C