请从AR1模型逐步推导出模型的均值,方差,自协方差,自相关系数？

Question

如题所述

Answer 1

AR1模型：
Xt = φXt-1 + εt
其中，φ为自回归系数，εt为白噪声，服从独立同分布的正态分布N(0,σ^2)
1、均值：
E（Xt）=E（φXt-1 + εt）=φE（Xt-1）+E（εt）=φE（Xt-1）
根据上式可以看出，AR1模型的均值是一个递推关系，当t→∞时，E（Xt）=φ^t E（X0）
2、方差：
方差可以由下式求得：
Var（Xt）=Var（φXt-1 + εt）=φ^2 Var（Xt-1）+Var（εt）=φ^2 Var（Xt-1）+σ^2
根据上式可以看出，AR1模型的方差也是一个递推关系，当t→∞时，Var（Xt）=（σ^2）/（1-φ^2）
3、自协方差：
自协方差可以由下式求得：
Cov（Xt,Xt-1）=Cov（φXt-1 + εt,Xt-1）=φCov（Xt-1,Xt-1）+Cov（εt,Xt-1）=φ Var（Xt-1）
由于εt与Xt-1是独立的，因此Cov（εt,Xt-1）=0，所以自协方差可以由下式求得：
Cov（Xt,Xt-1）=φ Var（Xt-1）
4、自相关系数：
自相关系数可以由下式求得：
ρ（Xt）=Cov（Xt,Xt-1）/（Var（Xt）Var（Xt-1））=φ