二阶常系数齐次线性微分方程通解

Question

如题所述

Answer 1

二阶常系数齐次线性微分方程通解如下：

常系数线性微分方程：y″′-2y″+y′-2y=0，①，①对应的特征方程为：λ3-2λ2+λ-2=0，②，将②化简得：（λ2+1）（λ-2）=0，求得方程②的特征根分别为：λ1=2，λ2=±i，于是方程①的基本解组为：e2x，cosx，sinx，

从而方程①的通解为：y(x)＝C1e2x+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常量。

一、概况

1、二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。

2、若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。

3、常微分方程在高等数学中已有悠久的历史，由于它扎根于各种各样的实际问题中，所以继续保持着前进的动力。二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用。比较常用的求解方法是待定系数法、多项式法、常数变易法和微分算子法等。

二、解法

1、用特征值法求解齐次方程的通解。

2、比较非齐次项与特征值是否一致，结合各种常见的非齐次项（初等函数形式）对应的方程特解形式，通过待定系数法求出非齐次方程的一个特解。

3、齐次方程的通解与非齐次方程一个特解的和，就是要求的原方程的通解。