导数是指函数在某一点的变化率，表示函数的一个特定点上的斜率。在数学上，给定一个函数 f(x)，其在某一点 x 的导数可以用以下符号表示：f’(x)、dy/dx 或者 df/dx。导数的几何意义是函数图像在给定点的切线的斜率。
导函数是指一个函数的导数函数，也就是对于给定函数 f(x)，导函数是 f’(x)。导函数是原函数的导数构成的新函数，反映了原函数在每个点上的导数值。导函数可以用于求解函数的最值、判断函数的凹凸性等。
对于如何求导，简单的函数可以参考下图直接套用公式，复杂的函数往往需要先进行变形化简在套用公式求导。
f(x)和f‘(x)的关系：
f'(x)是f(x)的导函数。而导函数与函数的增减性有关，当导函数大于零，函数在这个区域上是增的，
导函数小于零，函数在这个区域上是减得。
求导函数时具有公式，比如下列求导：
f(x)=x³+x，那么f'(x)=3x²+1
f(x)=lnx，那么f'(x)=1/x
f(x)=e^x，那么f'(x)=e^x
f(x)=sinx，那么f'(x)=cosx
针对于这道题目：a>0,0<b<c，证明(a+b)/(2a+b)<(a+c)/(2a+c)，求解如下:
设函数为 f(x)=(a+x)/(2a+x)
则导函数 f'(x)=a/(2a+x)^2
因为 a>0 (2a+x)^2>0
所以导函数是恒大于0的
即函数在定义域上是增的
又因为 b,c定义域内，且 0<b<c
所以 f(b)<f(c)
即 (a+b)/(2a+b)<(a+c)/(2a+c)
扩展资料：
常见函数的求导如下：
1、y=f(x)=c (c为常数),则f'(x)=0
2、f(x)=x^n (n不等于0) f'(x)=nx^(n-1) (x^n表示x的n次方)
3、f(x)=sinx f'(x)=cosx
4、f(x)=cosx f'(x)=-sinx
5、f(x)=a^x f'(x)=a^xlna(a>0且a不等于1,x>0)
6、f(x)=e^x f'(x)=e^x
7、f(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)
8、f(x)=lnx f'(x)=1/x (x>0)
9、f(x)=tanx f'(x)=1/cos^2 x
10、f(x)=cotx f'(x)=- 1/sin^2 x
导数运算法则如下：
1、(f(x)+/-g(x))'=f'(x)+/- g'(x)
2、(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
3、(g(x)/f(x))'=(f(x)'g(x)-g(x)f'(x))/(f(x))^2
参考资料来源：百度百科-导数