令x=sint
x：0→1，则t：0→π/2
∫[0：1]√(1-x²)dx
=∫[0：π/2]√(1-sin²t)d(sint)
=∫[0：π/2]cos²tdt
=½∫[0：π/2](1+cos2t)dt
=(½t+¼sin2t)|[0：π/2]
=[½·(π/2)+¼sinπ]-(½·0+¼sin0)
=π/4
扩展资料：
定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。
定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。
参考资料来源：百度百科-定积分
例如：抛物线y^2=0.2x在点A(0.2,0.2)处法线围成区域面积的计算
主要内容：
本文通过定积分知识，介绍抛物线y^2=0.2x在点A(0.2,0.2)处法线围成区域面积的计算步骤。
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主要步骤：
∵y^2=0.2x，求导有
∴2ydy/dx=0.2，即dy/dx=0.2/2y,
在点A(0.2,0.2)处，有该点的切线的斜率k为：
k=dy/dx=0.2/(2*0.2)=1/2,
则该点处法线的斜率k1=-2,
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此时法线的方程为:
y-0.2=-2 (x-0.2)，
化简得y1=-2x+0.6,则x=(0.6-y)/ 2。
由法线和抛物线构成的方程组，求出二者的交点B,C.
y^2=0.2 (0.6-y)/ 2，即：
2y^2+0.2y-0.12=0，因式分解为：
(y-0.2)(y+0.3)=0.
所以y1=0.2，y2=-0.3.
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此时抛物线方程变形为x=1y^2/0.2,所围成的区域以dy为计算单位，则所求的面积S为：
S=∫[y2:y1][( 0.6-y)/ 2-y^2/0.2]dy
=∫[y2:y1]( 0.6/2-y/2-y^2/0.2)dy，积分有：
=(0.6y/2-y^2/2*2-y^3/0.6) [y2:y1]
=0.6/2*(0.2+0.3)- (0.2^2- 0.3^2)/4-1/0.6*(0.2^3+ 0.3^3)
=0.66+0.012-0.0583
=0.613.
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