怎么判断极限的存在性？

Question

如题所述

Answer 1

您好，非常高兴与您探讨。
判断极限是否存在的方法是：分别考虑左右极限。
极限存在的充分必要条件是左右极限都存在且相等。极限不存在的条件：
1、当左极限与右极限其中之一不存在或者两个都不存在；
2、左极限与右极限都存在，但是不相等。
求具体数列的极限，可以参考以下几种方法：
1、利用单调有界必收敛准则求数列极限
首先，用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性，进而确定极限存在性；其次，通过递推关系中取极限，解方程，从而得到数列的极限值。
2、利用函数极限求数列极限
如果数列极限能看成某函数极限的特例，形如，则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限，此时再用洛必达法则求解。3、求N项和或项积数列的极限，主要有以下几种方法：
（1）利用特殊级数求和法
如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式，那么通过整理可以直接得出极限结果。
（2）利用幂级数求和法
若可以找到这个级数所对应的幂级数，则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出，再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值。
（3）利用定积分定义求极限
若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项可用一个通项表示，则可以考虑用定积分定义求解数列极限。
（4）利用夹逼定理求极限
若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项不能用一个通项表示，但是其余项是按递增或递减排列的，则可以考虑用夹逼定理求解。
（5）求N项数列的积的极限
一般先取对数化为项和的形式，然后利用求解项和数列极限的方法进行计算。
希望可以帮到您。

Answer 2

这是很典型的一类题，无论是平常期末考试还是考研。思路就是先证明极限存在，运用单调有界数列必收敛这一定理。单调的证明方法可以前后项做减法或除法，有界可以运用恒不等式，比如柯西不等式，排序不等式等等或者当你没有太好的思路时候可以采取数学归纳法。接着是求极限，对于题干给的前后项关系式两边求极限，然后运用极限的四则运算就可以轻松得出。本回答被网友采纳