第10题怎么做

Question

如题所述

Answer 1

求微分方程 2ydx=[(y^4)+x)]dy满足y(0)=1的特解

解：2ydx-[(y^4)+x)]dy=0..............①

P=2y；∂P/∂y=2；Q=-[(y^4)+x]，∂Q/∂x=-1；

由于H(y)=(1/p)(∂P/∂y-∂Q/∂x)=3/(2y)是y的函数，故有积分因子μ：

用μ乘①式的两边，得：2y^(-1/2)dx-[y^(5/2)+xy^(-3/2)]dy=0............②

此时P=2/√y；∂P/∂y=-y^(-3/2)；∂Q/∂x=y^(-3/2)；∴∂P/∂y=∂Q/∂x;

故②是全微分方程；故原方程的通解为：

将初始条件y(0)=1代入，解得C=-2/7；故特解为：

检验：du=(∂u/∂x)dx+(∂u/∂y)dy=(2/√y)dx+[-xy^(-3/2)-y^(5/2)]dy

=(2/√y)dx-[xy^(-3/2)+y^(5/2)]dy=0

两边同乘以y^(3/2)得：2ydx-(x+y^4)dy=0；这就是原方程，故运算正确。