开方的计算步骤：
1、将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开（竖式中的11’56），分成几段，表示所求平方根是几位数；
2、根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数（竖式中的3）；
3、从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数（竖式中的256）；
4、把求得的最高位数乘以2去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商（2×30除256，所得的最大整数是 4，即试商是4）；
5、用商的最高位数的2倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试（竖式中（2×30+4）×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数）；
6、用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．
扩展资料：
牛顿迭代法：
上述笔算开方方法是我们大多数人上学时课本附录给出的方法，实际中运算中太麻烦了。可以采取下面办法：
比如136161这个数字，首先找到一个和136161的平方根比较接近的数，任选一个，比方说300到400间的任何一个数，这里选350，作为代表。先计算0.5(350+136161/350)，结果为369.5。
再计算0.5(369.5+136161/369.5)得到369.0003，发现369.5和369.0003相差无几，并且369²末尾数字为1。有理由断定369²=136161。
一般来说，能够开方开的尽的，用上述方法算一两次基本结果就出来了。再举个例子：计算
首先发现600²<469225<700²，可以挑选650作为第一次计算的数。即算0.5(650+469225/650)得到685.9。而685附近只有685²末尾数字是5，因此685²=469225。从而
对于那些开方开不尽的数，用这种方法算两三次精度就很可观了，一般达到小数点后好几位。实际中这种算法也是计算机用于开方的算法。
参考资料来源：百度百科-开平方运算
步骤：
1、将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；
2、根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数；
3、从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数；
4、把求得的最高位数乘以2去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商；
5、用商的最高位数的2倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试。
注：一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。显然，如果知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。
负数在实数系内不能开平方。只有在复数系内，负数才可以开平方。负数的平方根为一对共轭纯虚数。
例如：-1的平方根为±i，-9的平方根为±3i，其中i为虚数单位。
扩展资料
如何开立方
设A = X^3,求X.称为开立方。 开立方有一个标准的公式：
例如，A=5，,即求
5介于1的3次方;至2的3次方;之间（1的3次方=1，2的3次方=8）
初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。例如我们取X0 = 1.9按照公式：
第一步：X1=1.9+（5/1.9^2;-1.9)1/3=1.7。
即5/1.9×1.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.5149584×1/3=-0.1716528，1.9+(-0.1716528)=1.7。即取2位数值,，即1.7。
第二步：X2=1.7+（5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71。
即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。
第三步：X3=1.71+（5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709.
第四步：X4=1.709+（5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099
这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值
偏小，输出值自动转大。即5=1.7099^3;
当然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一个,都是X1 = 1.7 > 。当然，我们在实际中初始值最好采用中间值，即1.5。 1.5+（5/1.5²-1.5）1/3=1.7。
参考资料来源：百度百科-开平方运算
方法一：牛顿切线法
求a的平方根，相当于求f(x)=x²-a=0的正根，
假设随意猜测一个x的初始值x0。由于f'(x)=2x，
过猜测点(x0,f(x0))的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)，令y=0，
x=x0-f(x0)/f'(x0)=x0-(x0^2-a)/2x0=(x0+a/x0)/2是切线与x轴的交点。
画出图形就很容易看出任意选取x0，重复上一过程，都可以在不超过两次重复时，使得x比x0更接近方程的根，此处不再作严格证明。
于是，反复进行上一过程，就能得到越来越接近准确值的近似值，写成递推公式就是：
x(n+1)=[x(n)+a/x(n)]/2，(x0>0任意选取，当然尽量选接近的)。
方法二：巴比伦算法
若对a求算术平方根，随意选取0<x0<a，
于是x0和a/x0当中，由于总是有x0*a/x0=a，则二者中必有一个大于√a，另一个小于√a，
那么，他们的算术平均值肯定比他们两者都要接近√a，重复这一过程，必越来越接近√a。
写成递推公式就是：x(n+1)=[x(n)+a/x(n)]/2，(0<x0<a)，可以看出，和方法一如出一辙，而且推导过程更容易理解，古人还是很厉害的。
例题：求√67的值
选取x0=8，则x1=(8+67/8)/2=8.1875，x2=(8.1875+67/8.1875)/2=8.185353，
x3=(8.185353+67/8.185353)/2=8.1853527718724531...
而计算器直接算得8.1853527718724499...
可见选取比较接近的初值时，迭代一次精度可达到百分之一，两次达到百万分之一，
三次达到了十万亿分之一。当然x0选得不好的时候，要算更多遍才能达到相同的精度。
方法三：长除法（笔算法）
以√6767为例，我们知道完全平方是(a+b)²=a²+2ab+b²
由于是逐位算出的，所以每位的平方最大是9²=81，不会超过两位数，于是可把被开方数从小数点为界向两边，两个两个分组，最后剩一个的补0，比如123.321就分成01'23.32'10，例题的6767就分成67'67。
我们知道80*80=6400，90*90=8100，所以√6767一定是八十几点几，于是设成(80+b)，a=80，b还不知道，只知道它小于10。
好了，6767=a^2+2ab+b^2，6767-80²=367=2ab+b²=160b+b²
现在b商多少呢?
注意到试商的时候，前面的数比较大，x却总是个位数，相当于是高阶无穷小，所以很容易看出来——商个3超了，所以商个2，余数是367-320-4=43，
变成了82+x，我们不知道x是多少，只知道x小于1，43=2*82x+x²
因为划分了小数点，所以用x/10代替上述x，就可以写成4300=(2*820+x)x，现在x就是数位而不是一个小数了，
试商x=2，4300-(1640+2)2=1016，101600=2*8220x+x²，
x=6，101600=(2*8220+6)6=2924……292400=2*82260x+x²……
反正就是一直下去，√6767=82.26……
这是我国古代的方法，这里只是没有列成竖式而已。
练习1：√21，精确到4位小数
a=4，21-4*4=5，500=2*40x+x²
x=5，500-(2*40+5)5=75，7500=2*450x+x²
x=8，7500-(900+8)8=236，23600=2*4580+x²
x=2，23600-(9160+2)2=5276，527600=2*45820x+x²
x=5，527600-458200-25=69375，6937500=2*458250x+x²
x=7，6937500-2*458250*7-49=521951，52195100=……
所以√21=4.58257......≈4.5826
练习2：求√1156
分组，11'56
a=30，1100-30²=200，200+56=256，256=2*30b+b²
b=4，256-2*30*4-4²=0，余0，开尽。
所以√1156=34
本回答被网友采纳求a的平方根，相当于求f(x)=x²-a=0的正根，
假设随意猜测一个x的初始值x0。由于f'(x)=2x，
过猜测点(x0,f(x0))的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)，令y=0，
x=x0-f(x0)/f'(x0)=x0-(x0^2-a)/2x0=(x0+a/x0)/2是切线与x轴的交点。
画出图形就很容易看出任意选取x0，重复上一过程，都可以在不超过两次重复时，使得x比x0更接近方程的根，此处不再作严格证明。
于是，反复进行上一过程，就能得到越来越接近准确值的近似值，写成递推公式就是：
x(n+1)=[x(n)+a/x(n)]/2，(x0>0任意选取，当然尽量选接近的)。
方法二：巴比伦算法
若对a求算术平方根，随意选取0<x0<a，
于是x0和a/x0当中，由于总是有x0*a/x0=a，则二者中必有一个大于√a，另一个小于√a，
那么，他们的算术平均值肯定比他们两者都要接近√a，重复这一过程，必越来越接近√a。
写成递推公式就是：x(n+1)=[x(n)+a/x(n)]/2，(0<x0<a)，可以看出，和方法一如出一辙，而且推导过程更容易理解，古人还是很厉害的。
例题：求√67的值
选取x0=8，则x1=(8+67/8)/2=8.1875，x2=(8.1875+67/8.1875)/2=8.185353，
x3=(8.185353+67/8.185353)/2=8.1853527718724531...
而计算器直接算得8.1853527718724499...
可见选取比较接近的初值时，迭代一次精度可达到百分之一，两次达到百万分之一，
三次达到了十万亿分之一。当然x0选得不好的时候，要算更多遍才能达到相同的精度。
方法三：长除法（笔算法）
以√6767为例，我们知道完全平方是(a+b)²=a²+2ab+b²
由于是逐位算出的，所以每位的平方最大是9²=81，不会超过两位数，于是可把被开方数从小数点为界向两边，两个两个分组，最后剩一个的补0，比如123.321就分成01'23.32'10，例题的6767就分成67'67。
我们知道80*80=6400，90*90=8100，所以√6767一定是八十几点几，于是设成(80+b)，a=80，b还不知道，只知道它小于10。
好了，6767=a^2+2ab+b^2，6767-80²=367=2ab+b²=160b+b²
现在b商多少呢?
注意到试商的时候，前面的数比较大，x却总是个位数，相当于是高阶无穷小，所以很容易看出来——商个3超了，所以商个2，余数是367-320-4=43，
变成了82+x，我们不知道x是多少，只知道x小于1，43=2*82x+x²
因为划分了小数点，所以用x/10代替上述x，就可以写成4300=(2*820+x)x，现在x就是数位而不是一个小数了，
试商x=2，4300-(1640+2)2=1016，101600=2*8220x+x²，
x=6，101600=(2*8220+6)6=2924……292400=2*82260x+x²……
反正就是一直下去，√6767=82.26……
这是我国古代的方法，这里只是没有列成竖式而已。
练习1：√21，精确到4位小数
a=4，21-4*4=5，500=2*40x+x²
x=5，500-(2*40+5)5=75，7500=2*450x+x²
x=8，7500-(900+8)8=236，23600=2*4580+x²
x=2，23600-(9160+2)2=5276，527600=2*45820x+x²
x=5，527600-458200-25=69375，6937500=2*458250x+x²
x=7，6937500-2*458250*7-49=521951，52195100=……
所以√21=4.58257......≈4.5826
练习2：求√1156
分组，11'56
a=30，1100-30²=200，200+56=256，256=2*30b+b²
b=4，256-2*30*4-4²=0，余0，开尽。
所以√1156=34
先一起来研究一下，怎样求，这里1156是四位数，所以它的算术平方根的整数部分是两位数，且易观察出其中的十位数是3．于是问题的关键在于；怎样求出它的个位数a？为此，我们从a所满足的关系式来进行分析．
根据两数和的平方公式，可以得到
1156=(30+a)^2＝30^2＋2×30a＋a^2，
所以
1156-30^2＝2×30a＋a2，
即
256=(3×20+a)a，
这就是说，
a是这样一个正整数，它与
3×20的和，再乘以它本身，等于256．
为便于求得a，可用下面的竖式来进行计算：
根号上面的数3是平方根的十位数．将
256试除以20×3，得4．由于4与20×3的和64，与4的积等于256，4就是所求的个位数a．竖式中的余数是0，表示开方正好开尽．于是得到
1156＝34^2,
上述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下：
1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开(竖式中的11’56)，分成几段，表示所求平方根是几位数；
2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数(竖式中的3)；
3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256)；
4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商(3×20除256，所得的最大整数是
4，即试商是4)；
5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试(竖式中(20×3+4)×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数)；
6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．
如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值．
笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值．
我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔
算开平方法．据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍．这表明，古代对于开方的研究我国在世界上是遥遥领先的．
也可以用这种算法：
假设被开放数为a，如果用sqrt（a）表示根号a
那么(（sqrt(x)-sqrt(a/x))^2=0的根就是sqrt（a）
变形得
sqrt(a)=（x+a/x）/2
所以你只需设置一个约等于（x+a/x）/2
的初始值，代入上面公式，可以得到一个更加近似的值，再将它代入，就得到一个更加精确的值……依此方法，最后得到一个足够精度的
（x+a/x）/2的值。
如：计算sqrt(5)
设初值为2
1)sqrt(5)=(2+5/2)/2=2.25
2)sqrt(5)=(2.25+5/2.25)/2=2.236111
3)sqrt(5)=(2.236111+5/2.236111)/2=2.236068
这三步所得的结果和sqrt(5)相差已经小于0.001
或者可以用二分法：
设f(x)=x^2-a
那么sqrt(a)就是f(x)=0的根。
你可以先找两个正值m,n使f(m)<0,f(n)>0
根据函数的单调性，sqrt(a)就在区间（m，n）间。
然后计算（m＋n）/2，计算f（（m＋n）/2），如果它大于零，那么sqrt(a)就在区间（m，（m＋n）/2）之间。
小于零，就在（（m＋n）/2，n）之间，如果等于零，那么（m＋n）/2当然就是sqrt(a)。这样重复几次，你可以把sqrt(a)存在的范围一步步缩小，在最后足够精确的区间内随便取一个值，它就约等于sqrt(a)。
参考：
http://hi.baidu.com/%B0%A8%D1%A9%C8%D5%D0%C4%C9%D9%C4%EA/blog/item/0b64a9fd5a386c46d6887d8e.html
参考资料：
http://hi.baidu.com/%B0%A8%D1%A9%C8%D5%D0%C4%C9%D9%C4%EA/blog/item/0b64a9fd5a386c46d6887d8e.html