集合中2和{2}有什么区别?

如题所述

2是集合中的元素,{2}是含有元素2的集合。

集合,简称集,是数学中一个基本概念,也是集合论的主要研究对象。集合论的基本理论创立于19世纪,关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论(最原始的集合论)中的定义,即集合是“确定的一堆东西”,集合里的“东西”则称为元素。现代的集合一般被定义为:由一个或多个确定的元素所构成的整体。

集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。其中,构成集合的这些对象则称为该集合的元素[1-2] [3] 。

例如,全中国人的集合,它的元素就是每一个中国人。通常用大写字母如A,B,S,T,...表示集合,而用小写字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。若x是集合S的元素,则称x属于S,记为x∈S。若y不是集合S的元素,则称y不属于S,记为y∉S [2] 。

基数

集合中元素的数目称为集合的基数,集合A的基数记作card(A)。当其为有限大时,集合A称为有限集,反之则为无限集[4] 。一般的,把含有有限个元素的集合叫做有限集,含无限个元素的集合叫做无限集[4] 。

表示

假设有实数x < y:

①[x,y] :方括号表示包括边界,即表示x到y之间的数以及x和y;

②(x,y):小括号是不包括边界,即表示大于x、小于y的数。

集合在数学领域具有无可比拟的特殊重要性。集合论的基础是由德国数学家康托尔在19世纪70年代奠定的,经过一大批科学家半个世纪的努力,到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位,可以说,现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严格的集合理论上。

确定性

给定一个集合,任给一个元素,该元素或者属于或者不属于该集合,二者必居其一,不允许有模棱两可的情况出现[6] 。

互异性

一个集合中,任何两个元素都认为是不相同的,即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画,可以使用多重集,其中的元素允许出现多次[6] 。

无序性

一个集合中,每个元素的地位都是相同的,元素之间是无序的。集合上可以定义序关系,定义了序关系后,元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言,元素之间没有必然的序。

空集

有一类特殊的集合,它不包含任何元素,如{x|x∈R x²+1=0} ,称之为空集,记为∅。空集是个特殊的集合,它有2个特点:

    空集∅是任意一个非空集合的真子集

    空集是任何一个集合的子集[4] 。

    子集

    设S,T是两个集合,如果S的所有元素都属于T ,即

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    则称S是T的子集,记为

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    。显然,对任何集合S ,都有

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    。[3] 其中,符号

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    读作包含于,表示该符号左边的集合中的元素全部是该符号右边集合的元素。如果S是T的一个子集,即

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    ,但在T中存在一个元素x不属于S ,即

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    ,则称S是T的一个真子集。[5] 

    交并集

    交集定义:由属于A且属于B的相同元素组成的集合,记作A∩B

    图1 交集与并集

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    (或B∩A),读作“A交B”(或“B交A”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}, 如右图所示。注意交集越交越少。若A包含B,则A∩B=B,A∪B=A[5] 。

    并集定义:由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,记作A∪B(或B∪A),读作“A并B”(或“B并A”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B},如右图所示。注意并集越并越多,这与交集的情况正相反[5] 。

    补集

    补集又可分为相对补集和绝对补集。

    相对补集定义:由属于A而不属于B的元素组成的集合,称为B关于A的相对补集,记作A-B或A\B,即A-B={x|x∈A,且x∉B'}[5] 。

    绝对补集定义:A关于全集合U的相对补集称作A的绝对补集,记作A'或∁u(A)或~A。有U'=Φ;Φ'=U[5] 。

    幂集

    设有集合A,由集合A所有子集组成的集合,称为集合A的幂集。对于幂集有定理如下:有限集A的幂集的基数等于2的有限集A的基数次幂。

数学分析中,最常遇到的实数集的子集是区间。[5] 

设a,b(a<b)是两个相异的实数,则满足不等式a<x<b的所有实数x的集合称为以a,b为端点的开区间,记为

;满足不等式

的所有实数的集合称为以a,b为端点的闭区间,记为

;满足不等式

的所有实数x的集合称为以a,b为端点的半开半闭区间,分别记为

。除此之外,还有下述几类无限区间[5] :

表示集合的方法通常有四种,即列举法[7] 、描述法[6] 、图像法[6] 和符号法[6] 。

列举法

列举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式[7] 。例如,光学中的三原色可以用集合{红,绿,蓝}表示;由四个字母a,b,c,d组成的集合A可用A={a,b,c,d}表示,如此等等。

列举法还包括尽管集合的元素无法一一列举,但可以将它们的变化规律表示出来的情况。如正整数集

和整数集

可以分别表示为

描述法

描述法的形式为{代表元素|满足的性质}。

设集合S是由具有某种性质P的元素全体所构成的,则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合:S={x|P(x)}。例如,由2的平方根组成的集合B可表示为B={x|x2=2}。而有理数集

和正实数集

则可以分别表示为

[6] 。

图像法

图像法,又称韦恩图法、韦氏图法,是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法。一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合,是集合的一种直观的图形表示法,如图2所示[2] 。

符号法

有些集合可以用一些特殊符号表示,举例如下:

图2韦恩图集合表示法

N:非负整数集合{0,1,2,3,…}

N*或N+:自然数集合{1,2,3,…}

Z:整数集合{…,-1,0,1,…}

Q:有理数集合

Q+:正有理数集合

Q-:负有理数集合

R:实数集合(包括有理数和无理数

R+:正实数集合

R-:负实数集合

C:复数集合

∅ :空集(不含有任何元素的集合)

希望我能帮助你解疑释惑。

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第1个回答  2020-02-25
{1,2}为元素集 表示该集合里有2个元素 分别为1 2
{(1,2)}为点集 表示该集合里一个坐标为(1,2)的点追问

第五题的第一小问的那个-4和{-4有什么区别呢?}

-4和{-4}

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