状态方程和输出方程总和起来，构成一个系统完整的动态描述称为系统的状态空间表达式。
在经典控制理论中，用指定某个输出量的高阶微分方程来描述系统的动态过程。
同一系统中，状态变量选取的不同，状态方程也不同。
从理论上说，并不要求状态变量在物理上一定是可以测量的量，但在工程实践上，仍以选取那些容易测量的量作为状态变量为宜，因为在最优控制中，往往需要将状态变量作为反馈量。
设单输入—单输出定常系统，其状态变量为 ， ，…， ，用矢量矩阵表示时的状态空间表达式则为：
对于多输入—多输出系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为：
连续系统的状态空间表达式状态方程是由控制系统的状态变量和控制变量构成的一阶微分方程组。 输出方程是该系统输出变量与状态变量和控制变量的函数关系式。它们一般表示为 状态方程 输出方程 无二f(x，u，t) y~g(x，u，t) (1) 式中f，g为向量函数;x为n维状态向量;u为P维控 制向量;t为时间变量;戈为状态变量关于t的一阶微 分向量;y为q维输出向量。 如果所描述的控制系统是线性的，则状态空间表 达式为 毖=A(t)x十B(t)u y=C(t)x+D(t)u (2) 式中x任尺”;夕〔Rq;u〔尺p。通常，，《n，P簇n，A(t)为， xn维系统矩阵，B(t)为n只P维输人矩阵，c(t)为qx n维输出矩阵，D(t)为q火p维前馈矩阵。 如果式(1)中的函数f、g或式(2)中的A、B、 C、D不依赖于时间变量t，则该控制系统是定常的。线 性定常控制系统的状态空间表达式为 x一Ax+方“ y~Cx十Du 式中矩阵A、B、C和D均为常数矩阵。图为式 示的状态空间表达式表述的控制系统的框图。 (3) (2)所 D(t) B(，)卜吠终 C(，)卜~落 A(I) 状态空间表达式的系统框图 线性离散时间系统的状态空间表达式线性离散 时间系统的状态空间表达式为 x(kT十T)一G(kT)x(kT)+H(kT)u(kT) y(kT)一C(kT)x(kT)+D(kT)u(kT) (4) 式中k一O，1，2，…;T为采样周期;x任R”;“任R“; 夕任尺p;G，万，e，D为适当的维数。 如果控制系统又是定常的，则其状态空间表达式 为 x(kT+T)~Gx(kT)+Hu(kT) y(kT)=C工(kT)十Du(kT) 状态空间表达式的非唯一性及其变换 (5) 描述一个 给定控制系统的状态向量不是唯一的，即可以选择不 同的状态向量。因此，其状态空间表达式也不是唯一 的。以线性定常连续控制系统为例，对其状态向量x 作线性变换，使得x一T芜，其中T为任何非奇异n又n 维矩阵。若以牙为状态向量，则该系统的状态空间表 达式为 x一Ax+B“) __卜(6) y~Cx十刀“) 式中又一T一‘AT;石一r一‘B;亡~cT;万一D。上述变换 一乃91- 也称为坐标变换或基底变换。一个控制系统的状态空 间表达式可以有许多不同的形式，但所有表达式的系 统矩阵的特征值是不变的。一个n维的控制系统(即系 统矩阵A为二xn维矩阵)有且仅有n个特征值。对实 常数矩阵A而言，其。个特征值或为实数，或为 共扼复数对。如果A是实对称阵，则其特征值必为实数。为 了分析和综合的简便，规定了称为规范型的几种状态 空间表达式。 状态空间表达式的求解对于线性定常控制系 统，如果假定它的初始状态x(0)一。，那么进行拉普拉 斯变换后其状态空间表达式可以表示为 X(s)=(51一A)一‘BU(s) Y(s)=仁C(51一A)一’B+D〕U(s) (7) 式中I为nxn维单位矩阵;，为复变数;(sI一A)一’B一 Wx(s)，称为输人一状态传递函数矩阵;C(sI一A)一‘B +D一w(s)，称为输人一输出传递函数矩阵〔不少文献 中记作G(:)〕。一个线性定常控制系统的输人一输出传 递函数矩阵是不随状态空间表达式的不同而改变的。 对状态空间表达式求解就是解一阶微分方程组。 假定状态空间表达式有解且有唯一的解，则式(2)所 示线性时变控制系统状态空间表达式的解为x(t) 一，(才，!。，·(!。，+丈。，(才，·，B(·，·(·，d一式中前面- 部分是初始时刻状态x(t。)的转移，后面一部分是由控 料作用激励的转移。女口式(3)所示的线性定常控制索 统状态空间表达式的解为x(t)一山(t一t。)x(t。)十 {:。，(卜·，B·(·，d一，(才，才。，和，‘卜·，称为毗转 移矩阵。 连续系统状态空间表达式的离散化在利用计算 机求解连续时间控制系统的状态空间表达式时，或者 对连续受控对象实行计算机控制时，可以把连续时间 控制系统变换为离散时间控制系统。这时两个状态空 间表达式之间满足如下条件 、|||﹄||IJ G(kT)~中仁(k+1)T，kT口 H(‘T，一{ (k+l)T 山[(k+1)T，二]召(:)d: (8) c(无了’)~[e(t)j，_是二 D(kT)一〔D(t)〕，_二 如式(4)所示的初始时刻为hT的线性离散时变控制 系统状态空间表达式的解为x(kT)一。(kT，hT)火 k一1 x(hT)斗、三必〔kT，(‘+1)T〕H(汀)u(iT)·如式(5)所 示的初始时刻为hT的线性离散定常控制系统状态空 间表达式的解为 Hu(乞T)。 k一1 x(kT)=G厄x(hT)+艺G〔k一(‘+’)〕又 菌~h 控制系统的实现对于结构和参数已知的控制系 统，可以根据系统运动的规律(物理的、化学的、生物 的或社会的等)直接建立其状态空间表达式。例如，根 据框图或高阶微分方程式建立系统的状态空间表达 式。但如果系统内部结构不知道或不完全知道，也得不 到它的高阶微分方程式，则需要用其他的方法建立。可 行的办法是由实验确定系统的输人一输出特性，例如传 递函数矩阵或冲激响应函数阵，然后导出相应的状态 空间表达式。这样的方法称为实现问题。 对于线性定常控制系统，实现问题的基本属性 为: (1)如果对给定的一个传递函数矩阵W(、)，找到 一个状态空间表达式 x一Ax+Bu y一Cx+刀“ 简写为(‘，“，c，”，{(9， 使W(s)宝c(sI一A)一‘B十D成立，则称(A，B，C，D)为 具有传递特性w(s)的系统的一个实现。它本质上是一 个状态空间领域内的假想结构，与真实系统具有相同 的传递特性。 (2)并不是任意给定的w(s)都可以找到其对应的 状态空间表达式的。要满足可实现性条件:w(s)的元 素(传递函数)w:凡(s)，i一1，2，…，妇泛一1，2，…， p。其分子多项式的次数必须低于或等于分母多项式 的次数。对于定常系统，w茂(:)中分子、分母多项式的 系数均为实常数，-一----一----------一一-一 招)实现不是唯一的，即状态空间表达式不是唯一 的。它们可以是代数等价的或代数不等价的。 (4)对于给定的w(s)，一定存在一类维数最低的 实现，称去最小实现。它反映了W(:)的假想结构的最 简形式。最小实现的充要条件是怀，万，c，D)为完 全可控和完全可观测的。最小实现也不是唯一的。不同 的最小实现其维数相同且代数等价。如果真实系统不 是完全可控和可观测的，最小实现在结构上只是代数 等价于真实系统中可控且可观测的那一部分。
