特征值的计算方法

Question

如题所述

Answer 1

设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

扩展资料

判断相似矩阵的必要条件

设有n阶矩阵A和B，若A和B相似（A∽B），则有：

1、A的特征值与B的特征值相同——λ(A)=λ(B)，特别地，λ(A)=λ(Λ)，Λ为A的对角矩阵；

2、A的特征多项式与B的特征多项式相同——|λE-A|=|λE-B|；

3、A的迹等于B的迹——trA=trB/  ，其中i=1,2,?n（即主对角线上元素的和）；

4、A的行列式值等于B的行列式值——|A|=|B|；

5、A的秩等于B的秩——r(A)=r(B)。[1]

因而A与B的特征值是否相同是判断A与B是否相似的根本依据。

Answer 2

特征值的计算方法有以下几种：1. 特征多项式法：通过求解矩阵的特征方程来计算特征值。特征方程的形式为|A-λI|=0，其中A为n阶方阵，I为n阶单位矩阵，λ为待求的特征值。2. 幂法：通过迭代计算矩阵的某个向量的特征向量，从而得到特征值。该方法适用于特征值的绝对值最大的情况。3. Jacobi方法：通过不断地进行正交相似也就是分块、化零及合并的操作，将方阵对角化，从而得到特征值。4. QR方法：通过将矩阵分解成正交矩阵与上三角矩阵的乘积，从而一步步将矩阵对角化，得到其特征值。5. 对称矩阵特征值求解方法：对于Hermitian矩阵和实对称矩阵，则可以通过Jacobi方法和QR方法来求解特征值。以上是特征值的常见计算方法，选择哪种方法计算特征值取决于具体的问题和具体的矩阵。