多元函数证明极限不存在

Question

如题所述

Answer 1

证明多元函数证明极限不存在是非常容易的，只要选择一种方式使极限不存在或选择两种方式使极限不相等，就可以得到极限不存在的结论了。方法如下：

lim<x-->0,y-->0>[√(xy+1)-1]/(x+y)

=lim<x-->0,y-->0>(xy)/[2(x+y)]

这步是等价无穷小代换，是没有问题的。

沿y=0，lim<x-->0,y-->0>(xy)/[2(x+y)]=lim<x-->0>0/(2x)=0

沿y=-x+x^2，lim<x-->0,y-->0>(xy)/[2(x+y)]

==lim<x-->0>(-x^2+x^3)/[2(x^2)]=-1/2

两种方式极限不相等，所以原来的极限不存在。

拓展资料：

多元函数的三要素：

1、定义域

集合  ，称为函数的定义域，也可以记为D(f)或  。

2、对应规则

对应规则（也称对应关系、对应法则，对应规律），f可以用数学表达式（包括解析式）、图象、表格等表示。

3、值域

对于  所对应的y值，记为  。称为当 时，函数  的函数值。全体函数值的集合  称为函数的值域，记为Z或Z(f)。

参考资料：百度百科-多元函数