正方形面积公式是：S=a*a（S是正方形的面积，a是正方形的边长）
推导过程
正方形是特殊的长方形，我们设一长方形长和宽分别为a和b。
可得到一个面积完全相等的长方形，所以 f(a,b)=f(b,a)f(a,b) = f(b,a) 。
两个图形拼起来的面积是两者之和。对于长相等的长方形，将它们对齐长边，把宽边拼在一起，可以形成另一个长方形，宽是两者之和。所以f(a1+a2,b)=f(a1,b)+f(a2,b)f(a_1+a_2,b)=f(a_1,b)+f(a_2,b) 。
由此可得：
因为长方形长、宽、面积均为正，有a1,a2>0a_1,a_2>0， f(a1,b),f(a2,b)>0f(a_1, b),f(a_2,b)>0 ，所以f(a,b)f(a,b) 单调递增。
因为 f(a1+a2,b)=f(a1,b)+f(a2,b)f(a_1+a_2,b)=f(a_1,b)+f(a_2,b) ，所以对于有理数 p>0p>0 ，有pf(a,b)=f(pa,b)pf(a,b) = f(pa, b) 。
ff关于aa连续（即证明f(a,b)f(a,b) 在aa趋向于0时极限为0，首先aa趋向于0时单调递减有下界，所以极限一定存在，其次用第二条证明 f(a,b)f(a,b) 可以任意接近于0，因此 lima→0f(a,b)=0\lim_{a\to 0} f(a,b) = 0 。
因为 ff 关于aa连续，对于任意实数u>0u>0，f(ua,b)=uf(a,b) f(ua,b) = u f(a,b) ，所以f(a,b)=af(1,b)f(a,b)=af(1,b) 。
同理 f(a,b)=bf(a,1)=ab×f(1,1)f(a,b) = bf(a,1) = ab\times f(1,1) 。
所以一个长为 aa ，宽为 bb 的长方形面积是 1×11 \times 1 长方形面积的 abab 倍。为了使用方便，可以规定长为1,宽为1的长方形面积 f(1,1)=1f(1,1)=1 ，因此 f(a,b)=abf(a,b) = ab ，也就是大家说的，长方形的长乘宽等于面积。
所以，原始的定义不是定义长方形的面积公式，而是定义单位正方形的面积为1，任意长宽的长方形都可以由单位正方形或更小的正方形拼接出来。