椭圆面积怎么计算

Question

如题所述

Answer 1

如果你学过微积分，那这个问题就不难了！

对于一个标准椭圆方程为 x²/a² + y²/b² = 1，用参数方程来计算：
设 x = a * cosθ, y = b * sinθ
则有 dy = b * cosθ * dθ
我们只计算第一象限内的 1/4 椭圆的面积，θ ∈ [0, π/2]
那么：
s = ∫x*dy
= ∫a * cosθ * b * cosθ * dθ
= ab * 1/2 * ∫(2cos²θ) * dθ
= 1/2 * ab * ∫[1+cos(2θ)] * dθ
= 1/2 * ab * [∫dθ + ∫cos(2θ)*dθ]
= 1/2 * ab * [θ + 1/2 * ∫cos(2θ) * (2 * dθ)]
= 1/2 * ab * [θ + 1/2 * ∫cos(2θ) *d(2θ)]
= 1/2 * ab * [θ + 1/2 * sin(2θ)] |θ = 0→π/2
= 1/2 * ab * [(π/2 - 0) + 1/2 * (sinπ - sin0)]
= π*(ab)/4
因此，椭圆的面积 S = 4s = π * (ab)

Answer 2