1.如果把任意n个连续自然数相乘,其积的个位数字只有两种可能,那么n是多少
【分析与解】 我们知道如果有5个连
续的自然数,因为其内必有2的倍数,也有5的倍数,则它们乘积的个位数字只能是0.
所以n小于5.
:当n为4时,如果其内含有5的倍数(个位数字为O或5),显然其内含有2的倍数,那么它们乘积的个位数字为0;
如果不含有5的倍数,则这4个连续的个位数字只能是1,2,3,4或6,7,8,9;它们的积的个位数字都是4;
所以,当n为4时,任意4个连续自然数相乘,其积的个位数字只有两科可能.
:当n为3时,有1×2×3的个位数字为6,2×3×4的个位数字为4,3×4×5的个位数字为0,……,不满足.
:当n为2时,有1×2,2×3,3×4,4×5的个位数字分别为2,6,4,0,显然不满足.
至于n取1显然不满足了.
所以满足条件的n是4.
2.如果四个两位质数a,b,c,d两两不同,并且满足,等式a+b=c+d.那么,
(1)a+b的最小可能值是多少
(2)a+b的最大可能值是多少
【分析与解】两位的质数有11,13,17,19,23,29,3l,37,41,43,47,53,59,6l,
67,71,73,79,83,89,97.
可得出,最小为11+19=13+17=30,最大为97+71=89+79=168.
所以满足条件的a+b最小可能值为30,最大可能值为168.
3.如果某整数同时具备如下3条性质:
①这个数与1的差是质数;
②这个数除以2所得的商也是质数;
③这个数除以9所得的余数是5.
那么我们称这个整数为幸运数.求出所有的两位幸运数.
【分析与解】 条件①也就是这个数与1的差是2或奇数,这个数只能是3或者偶数,再根据条件③,除以9余5,在两位的偶数中只有14,32,50,68,86这5个数满足条件.
其中86与50不符合①,32与68不符合②,三个条件都符合的只有14.
所以两位幸运数只有14.
4.在555555的约数中,最大的三位数是多少
【分析与解】555555=5×111×1001
=3×5×7×11×13×37
显然其最大的三位数约数为777.
5.从一张长2002毫米,宽847毫米的长方形纸片上,剪下一个边长尽可能大的正方形,如果剩下的部分不是正方形,那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形.按照上面的过程不断地重复,最后剪得正方形的边长是多少毫米
【分析与解】 从长2002毫米,宽847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847毫米的正方形,这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商.而余数恰好是剩下的长方形的宽,于是有:2002÷847=2……308,847÷308=2……231,308÷231=1……77.231÷77=3.
不难得知,最后剪去的正方形边长为77毫米.
6.已知存在三个小于20的自然数,它们的最大公约数是1,且两两均不互质.请写出所有可能的答案.
【分析与解】 设这三个数为a,b,c,且a:当a=72时,b可取小于72的11种约数,a+b≥72+1=73;
:当a=36时,b必须取8或24,a+b的值为44或60,均不同第一种情况中的值;
:当a=24时,b必须取9或18,a+b的值为33或42,均不同第一,二种情况中的值;
当a=18时,b必须取8,a+b=26,不同于第一,二,三种情况的值;
:当a=12时,b无解;
:当a=9时,b必须取8,a+b=17,不同于第一,二,三,四情况中的值.
总之,a+b可以有ll+2+2+1+1=17种不同的值.
(2)60=2×2×3×5,有12个约数:1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60.a,b为60的约数,不妨设a>b.
:当a=60时,b可取60外的任何一个数,即可取11个值,于是a-b可取11种不同的值:59,58,57,56,55,54,50,48,45,40,30;
.当a=30时,b可取4,12,20,于是a-b可取26,18,10;
:当a=20时,b可取3,6,12,15,所以a-b可取17,14,8,5;
当a=15时,b可取4,12,所以a-b可取11,3;
: 当a=12时,b可取5,10,所以a-b可取7,2.
总之,a-b可以有11+3+4+2+2=22种不同的值.
10.狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛,狐狸每次跳米,黄鼠狼每次跳米,它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔米设有一个陷阱,当它们之中有一个掉进陷阱时,另一个跳了多少米
【分析与解】 由于÷=,÷=.
所以狐狸跳4个米的距离时将掉进陷阱,黄鼠狼跳2个米的距离时,将掉进陷阱.
又由于它们都是一秒钟跳一次,因此当狐狸掉进陷阱时跳了11秒,黄鼠狼掉进陷阱时跳了9秒,因此黄鼠狼先掉进陷阱,此时狐狸跳了9秒.
距离为9×=40.5(米).
11.在小于1000的自然数中,分别除以18及33所得余数相同的数有多少个 (余数可以为0)
【分析与解】 我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,所以每198个数一次.
1～198之间只有1,2,3,…,17,198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同,而999÷198=5……9,所以共有5×18+9=99个这样的数.
12.甲,乙,丙三数分别为603,939,393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍,A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少
【分析与解】 由题意知4倍393除以A的余数,等于2倍939除以A的余数,等于甲603除以A的余数.
即603÷A=a……k;(2×939)÷A=b……k;(4×393)÷A=c……k.
于是有(1878-603)÷A=b-a;(1878-1572)÷A=b-c;(1572-603)÷A=c-a.
所以A为1275,306,969的约数,(1275,306,969)=17×3=51.
于是,A可能是51,17(不可能是3,因为不满足余数是另一余数的4倍).
当A为51时,有603÷51=11……42;939÷51=18……21;393÷51=7……36.不满足;
当A为17时,有603÷17=35……8;939÷17=55……4;393÷17=23……2;满足.
所以,除数4为17.
13.证明:形如11,111,1111,11111,…的数中没有完全平方数.
【分析与解】 我们知道奇数的完全平方数是奇数,偶数的完全平方数为偶数,而奇数的完全平方数除以4余1,偶数的完全平方数能被4整除.
现在这些数都是奇数,它们除以4的余数都是3,所以不可能为完全平方数.
评注:设奇数为2n+1,则它的平方为+4n+1,显然除以4余1.
14.有8个盒子,各盒内分别装有奶糖9,17,24,28,30,31,33,44块.甲先取走一盒,其余各盒被乙,丙,丁3人所取走.已知乙,丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍.问:甲取走的一盒中有多少块奶糖
【分析与解】 我们知道乙,丙,丁三人取走的七盒中,糖的块数是丁所取糖块数的5倍.
八盒糖总块数为9+17+24+28+30+31+33+44=216.
从216减去5的倍数,所得差的个位数字只能是1或6.
观察各盒糖的块数发现,没有个位数字是6的,只有一个个位数字是1的数31.
因此甲取走的一盒中有3l块奶糖.
15.在一根长木棍上,有三种刻度线.第一种刻度线将木棍分成10等份;第二种将木棍分成12等份;第三种将木棍分成15等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断,那么木棍总共被锯成多少段
【分析与解】 10,12,15的最小公倍数[10,12,15]=60,把这根木棍的作为一个长度单位,这样,木棍10等份的每一等份长6个单位;12等份的每等份长5个单位;15等份的每等份长4单位.
不计木棍的两个端点,木棍的内部等分点数分别是9,11,14(相应于10,12,15等份),共计34个.
由于5,6的最小公倍数为30,所以10与12等份的等分点在30单位处相重,必须从34中减1.
又由于4,5的最小公倍数为20,所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重,必须再减去2.
同样,6,4的最小公倍数为12,所以15与10等份的等分点在12,24,36,48单位处相重,必须再减去4.
由于这些相重点各不相同,所以从34个内分点中减去1,再减去2,再减去4,得27个刻度点.沿这些刻度点把木棍锯成28段.
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