【题目】
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为3√2,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A. B两点,若AF−→−=3FB−→−,则k=___.
【考点】
直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】
A(x1,y1),B(x2,y2),设a=2t,c=
3
t,b=t,设直线AB方程为x=sy+
3
t,由此可知k=
2
.
【解答】
A(x1,y1),B(x2,y2),
∵AF−→−=3FB−→−,∴y1=−3y2,
∵e=3√2,设a=2t,c=3√t,b=t,
∴x2+4y2−4t2=0①,
设直线AB方程为x=sy+3√t,
代入①中消去x,可得(s2+4)y2+23√sty−t2=0,
∴y1+y2=−23√sts2+4,y1y2=−t2s2+4,−2y2=−23√sts2+4,−3y22=−t2s2+4,
解得s2=12,k=2√.
故答案:2√.
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