高等数学 一道求间断点题

Question

问别人，别人说画个图就行了，但我不懂怎么画图，求详细解题过程思路，感谢！

Answer 1

要判断函数 f(x) 的间断点，我们需要先求出它的极限。根据题目所给的式子，我们可以得到：
f(x) = lim(n→∞) ⁿ√(1+|x|^(3n))
对于 |x| < 1，有当 n → ∞ 时，|x|^(3n) 的值趋近于 0，因此：
f(x) = lim(n→∞) ⁿ√(1+|x|^(3n)) = 1
对于 |x| > 1，由于 |x|^(3n) 的值趋近于正无穷大，因此：
f(x) = lim(n→∞) ⁿ√(1+|x|^(3n)) = +∞
当 x = 1 或 x = -1 时，|x| = 1，此时 f(x) 的值为：
f(1) = lim(n→∞) ⁿ√(1+1^(3n)) = 2
f(-1) = lim(n→∞) ⁿ√(1+(-1)^(3n)) = 0
因此，f(x) 在 x = 1 处的极限存在且等于 2，在 x = -1 处的极限存在且等于 0，在 |x| < 1 和 |x| > 1 时的极限分别为 1 和 +∞。
接下来，我们可以通过绘制 f(x) 的图像来观察它是否存在间断点。首先，我们可以在数轴上标出 x = -1 和 x = 1，然后根据以上所述的极限结果在相应的区间上画出 f(x) 的图像。我们可以发现，在 x = -1 处 f(x) 的值跳跃，因此 x = -1 是 f(x) 的一个间断点。
综上所述，f(x) 在 x = -1 处存在间断点，其它点均连续。

Answer 2

设f(x) = (x-1)/ (x-2)(x+1), 求函数f(x)在(-∞,∞)上的间断点。
解题思路:
1. 分析函数定义式,该函数分母有2个因子(x-2)(x+1),根据间断点定义,当分母某个因子趋于0时,函数值趋于无穷大,此时便产生间断点。
2. 所以我们要关注(x-2)和(x+1)这2个因子,让它们等于0,求解所得到的x值。
(x-2) = 0 --> x = 2
(x+1) = 0 --> x = -1
3. 所以x = 2和x = -1都是可能的间断点,我们需要进一步判断:
当x = 2时:
f(2) = (2-1) / (2-2)(2+1)
= 1 / (0)(3)
= 无穷大 (分母为0,函数无定义)
当x = -1时:
f(-1) = (-1-1) / (-1-2)(-1+1)
= 0 / (-3)(0)
= 0 (分母为0,但是函数值确定,为0)
4. 所以,通过判断,我们得到结论:
当x = 2时,f(x)无定义,存在间断;
当x = -1时,f(x) = 0,不存在间断。
综上,函数f(x) = (x-1)/ (x-2)(x+1)在(-∞,∞)范围内只有一个间断点x = 2。

Answer 3

这个函数可以表示为：f(x) = lim(n→∞) ⁿ√(1+|x|^(3n))。我们要找这个函数的间断点。
首先，我们观察这个极限。当n趋向于无穷大时，如果|x| > 1，则|x|^(3n)会趋向于无穷大，使得函数中的整个项变得非常大。在这种情况下，函数的极限将趋向于无穷大。然而，如果|x| < 1，那么|x|^(3n)将趋向于0，使得函数值趋近于1。
现在，我们可以考虑这个函数的间断点。首先注意到，当|x| > 1时，f(x) = ∞。这意味着函数在这些点上是无界的，因此在|x| > 1的所有点上都有间断点。
对于|x| < 1的情况，我们可以进一步观察极限。当n趋向于无穷大时，函数值趋近于1。因此，在|x| < 1的所有点上，函数是连续的。
最后，我们需要考虑x = ±1的情况。对于这两个点，我们有：
f(1) = lim(n→∞) ⁿ√(1+1^(3n)) = lim(n→∞) ⁿ√(2)，
f(-1) = lim(n→∞) ⁿ√(1+(-1)^(3n)) = lim(n→∞) ⁿ√(1+1) = lim(n→∞) ⁿ√(2)。
由于ⁿ√2的极限在n趋向于无穷大时也趋向于1，所以f(1) = f(-1) = 1。这意味着在x = ±1处，函数是连续的。
综上所述，函数f(x)在|x| > 1的所有点上都有间断点，而在|x| ≤ 1的范围内是连续的。