第1个回答 2013-10-28
紧集
定义
紧集是拓扑空间内的一类特殊点集,它们的任何开覆盖都有有限子覆盖。在度量空间内,紧集还可以定义为满足以下任一条件的集合:
任意列有收敛子列且该子列的极限点属于该集合(自列紧集)
具备Bolzano-Weierstrass性质
完备且完全有界
性质
紧集具有以下性质:
点集是紧集的充分必要条件是它为有界闭集。
紧集在连续函数下的像仍是紧集。
豪斯多夫空间的紧子集是闭集。
实数空间的非空紧子集有最大元素和最小元素。
Heine-Borel定理:在Rn内,一个集合是紧集当且仅当它是闭集并且有界。
定义在紧集上的连续实值函数有界且有最大值和最小值。
定义在紧集上的连续实值函数一致连续。
直观理解
从某种意义上,紧集类似于有限集。举最简单的例子而言,在度量空间中,所有的有限集都有最大与最小元素。一般而言,无限集可能不存在最大或最小元素(比如R中的(0, 1)),但R中的非空紧子集都有最大和最小元素。在很多情况下,对有限集成立的证明可以扩展到紧集。一个简单的例子是对以下性质的证明:定义在紧集上的连续实值函数一致连续。
类似概念
自列紧集:每个有界序列都有收敛的子序列。
可数紧集:每个可数的开覆盖都有一个有限的子覆盖。
伪紧:所有的实值连续函数都是有界的。
弱可数紧致:每个无穷子集都有极限点。
在度量空间中,以上概念均等价于紧集。
以下概念通常弱于紧集:
相对紧致:如果一个子空间Y在母空间X中的闭包是紧致的,则称Y是相对紧致于X。
准紧集:若空间X的子空间Y中的所有序列都有一个收敛的子序列,则称Y是X中的准紧集。
局部紧致空间:如果空间中的每个点都有个由紧致邻域组成的局部基,则称这个空间是局部紧致空间。
请帮助解答:
1.拓扑空间的紧子集的闭包可以不是紧的,谁可以给出个例子
R上的 Alexandroff拓扑的紧子集的闭包都为R,显然R不是紧的,
注:正则空间的紧子集的闭包必为紧的!
2.{Xn}收敛到x0,且都属于X,如何证明{x0}与{Xn,n取正整数}之并是紧集
证:因为{Xn}收敛到X0,所以有对任意ξ>0,都存在N,对任意n>N时有|Xn-X0|<ξ成立。也就是说当n大于某一存在常数N而趋向无穷大时,都有Xn∈O(X0,ξ)成立,而ξ是任意大于零,则X0的任意领域都含有无穷多{Xn}中的点,所以X0是{X0}∪{Xn}的聚点,而其余的点Xn(n=1,2,3…)都是孤立点,此外因数列收敛的唯一性,且其任意子列都收敛于X0,故该并集中含有有且唯一的一个聚点X0,故并集为闭集。
又因为收敛数列的有界性,故此为有界闭集,为紧集!本回答被网友采纳
第2个回答 2017-06-23
定义
紧集是拓扑空间内的一类特殊点集,它们的任何开覆盖都有有限子覆盖.在度量空间内,紧集还可以定义为满足以下任一条件的集合:
任意列有收敛子列且该子列的极限点属于该集合(自列紧集)
具备Bolzano-Weierstrass性质
完备且完全有界
性质
紧集具有以下性质:
紧集必然是有界的闭集,但反之不一定成立.
紧集在连续函数下的像仍是紧集.
豪斯多夫空间的紧子集是闭集.
实数空间的非空紧子集有最大元素和最小元素.
Heine-Borel定理:在Rn内,一个集合是紧集当且仅当它是闭集并且有界.
定义在紧集上的连续实值函数有界且有最大值和最小值.
定义在紧集上的连续实值函数一致连续.
直观理解
从某种意义上,紧集类似于有限集.举最简单的例子而言,在度量空间中,所有的有限集都有最大与最小元素.一般而言,无限集可能不存在最大或最小元素(比如R中的(0,1)),但R中的非空紧子集都有最大和最小元素.在很多情况下,对有限集成立的证明可以扩展到紧集.一个简单的例子是对以下性质的证明:定义在紧集上的连续实值函数一致连续.
类似概念
自列紧集:每个有界序列都有收敛的子序列.
可数紧集:每个可数的开覆盖都有一个有限的子覆盖.
伪紧:所有的实值连续函数都是有界的.
弱可数紧致:每个无穷子集都有极限点.
在度量空间中,以上概念均等价于紧集.
以下概念通常弱于紧集:
相对紧致:如果一个子空间Y在母空间X中的闭包是紧致的,则称Y是相对紧致于X.
准紧集:若空间X的子空间Y中的所有序列都有一个收敛的子序列,则称Y是X中的准紧集.
局部紧致空间:如果空间中的每个点都有个由紧致邻域组成的局部基,则称这个空间是局部紧致空间.