如图，摩天轮的半径为50 m，点 O 距地面的高度为60 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上点 P

Question

如图，摩天轮的半径为50 m，点 O 距地面的高度为60 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上点 P 的起始位置在最低点处. （1）试确定在时刻 t （min）时点 P 距离地面的高度；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点 P 距离地面超过85 m?

Answer 1

(1) y ＝60－50cos t  ( t ≥0) (2) 在摩天轮转动的一圈内，点 P 距离地面超过85 m的时间有1分钟.

试题分析：（1）解：设点 P 离地面的距离为 y ，则可令 y ＝ A sin( ωt ＋ φ )＋ b . 由题设可知 A ＝50， b ＝60.                                           2分 又 T ＝ ＝3，所以 ω ＝ ，从而 y ＝50sin( t ＋ φ )＋60.                  4分 再由题设知 t ＝0时 y ＝10，代入 y ＝50sin( t ＋ φ )＋60，得sin φ ＝－1，从而 φ ＝－ . 6分 因此， y ＝60－50cos t  ( t ≥0).                                       8分 （2）要使点 P 距离地面超过85 m，则有 y ＝60－50cos t ＞85，即cos t ＜－ . 10分 于是由三角函数基本性质推得 ＜ t ＜ ，即1＜ t ＜2.                 12分 所以，在摩天轮转动的一圈内，点 P 距离地面超过85 m的时间有1分钟.  14分 点评：解决的关键是利用摩天轮的转动有周期性，以及点的坐标的表示来得到解析式，属于基础题。