取微圆环,圆心角θ~θ+dθ
则微圆环面积dS=2πRsinθ*Rdθ,
球面积S=∫dS=∫2πR²sinθ*dθ(从0积到π)=-2πR²cosθ|(下0上π)=4πR²
应注意定积分与不定积分之间的关系:若定积分存在,则它是一个具体的数值(曲边梯形的面积),而不定积分是一个函数表达式,它们仅仅在数学上有一个计算关系(牛顿-莱布尼茨公式),其它一点关系都没有!
一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分;也可以存在定积分,而不存在不定积分。一个连续函数,一定存在定积分和不定积分;若只有有限个间断点,则定积分存在;若有跳跃间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。
一般定理
定理1:设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积。
定理2:设f(x)区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积。
定理3:设f(x)在区间[a,b]上单调,则f(x)在[a,b]上可积。
牛顿-莱布尼茨公式
定积分与不定积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分。
取微圆环,圆心角θ~θ+dθ
则微圆环面积dS=2πRsinθ*Rdθ,
球面积S=∫dS=∫2πR²sinθ*dθ(从0积到π)=-2πR²cosθ|(下0上π)=4πR²
应注意定积分与不定积分之间的关系:若定积分存在,则它是一个具体的数值(曲边梯形的面积),而不定积分是一个函数表达式,它们仅仅在数学上有一个计算关系(牛顿-莱布尼茨公式),其它一点关系都没有!
一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分;也可以存在定积分,而不存在不定积分。一个连续函数,一定存在定积分和不定积分;若只有有限个间断点,则定积分存在;若有跳跃间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。
利用周长公式计算球的表面积
√表示根号
把一个半径为R的球的上半球横向切成n(无穷大)份, 每份等高
并且把每份看成一个类似圆台,其中半径等于该类似圆台顶面圆半径
则从下到上第k个类似圆台的侧面积S(k)=2πr(k)h
h=R^2/{n√[R^2-﹙kh)^2}.
S(k)=2πr(k)h=(2πR^2)/n则 S=S(1)+S(2)+……+S(n)= 2πR^2;
乘以2就是整个球的表面积 4πR^2;
本回答被网友采纳