问个有关于高等数学里极限和一阶导数以及该点的值是否存在的问题

Question

比如说我设y=（x^2-1)/(x-1)，求x趋近于1的极限。根据函数来判断，这点的函数值是不存在的，但是极限可以求出来等于2。可是如果还是这个函数，我再规定当x=1的时候y=4，那么当x趋近于1的时候极限是2还是4？为什么？我记得貌似有函数在该点值存在的话该点的值就是极限值，也可能是我记错了，总之希望大家解答一下。其次问一个，如果函数在一点的一阶导数存在，那么这个函数在该点的函数值存在吗，在该点连续吗？

Answer 1

从极限的定义要明确，该函数在x=1要有极限需要左极限等于右极限，你给出的函数左右极限都是2，所以规定x=1时，y=4，但是x=1处的极限任然是2。
如果函数在一点的一阶导数存在，表明这个函数在此点连续，所以函数值存在。