放回抽样和不放回抽样中的概率问题

例: 现有一批产品共有10件,其中8件为正品,2件为次品:

如果从中一次取3件,求3件都是正品的概率.

分析:为不返回抽样.

解:解法1:可以看作不放回抽样3次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z),则x有10种可能,y有9种可能,z有8种可能,所以试验的所有结果为10×9×8=720种.设事件B为“3件都是正品”,则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467.

解法2:可以看作不放回3次无顺序抽样,先按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则x有10种可能,y有9种可能,z有8种可能,但(x,y,z),(x,z,y),(y,x,z),(y,z,x),(z,x,y),(z,y,x),是相同的,所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120,按同样的方法,事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56,因此P(B)= ≈0.467.

在实际应用中会这样,举个例子来说:
袋中放有3个红球,2个白球,第一次取出一球,不放回,第二次再取一球.则两次都是红球的概率是(3/10)

计算时用下面方法计算结果都正确:
1. C(3,2)/C(5,2)=3/10

2. A(3,2)/A(5,2)=3/10

我现在有点蒙了,因为是自学不太懂,谁能帮我总结一下
我想明白了,下边实例中方法1的答案虽然是对的,但过程应该是C(3,2)*A(2,2)/C(5,2)*A(2,2)=3/10 ,因为有重复,是这样吗?

放回抽样和不放回抽样是有明显差别的:
下面简单分析一下:
举个简单例子,就拿你刚才的例子来说
1、若不放回,则算法是:
(3/5)*(2/4)=3/10
上式中3/5为第一次取得红球的概率(3红,2白,显然取得红的概率是3/5)
2/4为:在第一次取得红球下,第二次再取得红球的概率(还剩2红2白)
这种算法很容易理解的

2、若放回,则算法是:
(3/5)*(3/5)=9/25
因为是放回,故每次取得红球的概率都是相同的,都为3/5,两次都取得红球,就用乘法

这种理解式计算比剑简单,而且容易接受
不要用你的公式,不好理解,所以容易出错

说一下,C(a,b)/C(x,y)=A(a,b)/(x,y)
是永远成立的
不信把你的公式拿出来验证一下

高中时学到这些东西,大学就接触的少了,这是印象
但是肯定这些是没有错的

希望对你有用
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第1个回答  2019-07-07
放回抽样和不放回抽样是有明显差别的:
下面简单分析一下:
举个简单例子,就拿你刚才的例子来说
1、若不放回,则算法是:
(3/5)*(2/4)=3/10
上式中3/5为第一次取得红球的概率(3红,2白,显然取得红的概率是3/5)
2/4为:在第一次取得红球下,第二次再取得红球的概率(还剩2红2白)
这种算法很容易理解的
2、若放回,则算法是:
(3/5)*(3/5)=9/25
因为是放回,故每次取得红球的概率都是相同的,都为3/5,两次都取得红球,就用乘法
这种理解式计算比剑简单,而且容易接受
不要用你的公式,不好理解,所以容易出错
说一下,C(a,b)/C(x,y)=A(a,b)/(x,y)
是永远成立的
不信把你的公式拿出来验证一下
高中时学到这些东西,大学就接触的少了,这是印象
但是肯定这些是没有错的
希望对你有用
第2个回答  2008-09-19
呵呵,其实不是这样的,从你问题补充说起吧:
你可以不用考虑什么重复不重复的,既然没说明要放回去,那么我无论怎么取,取出两个就可以。
比如我先取一个,歇半小时再取1个,可以
我先取一个,找个人帮我取另1个,可以
我也可以两手一起抓,取出两个,也可以。
1的解法就是同时抓的情况,因为第一次取出一球,不放回,第二次再取一球.和我直接拿两个的概率一样的嘛
所以C(3,2)/C(5,2)=3/10
即都为红的可能性就是从3个红里直接抓了2个红的可能性,为C(3,2),总可能性C(5,2)
所以是没错的,也没省步骤,看你怎么理解了。
当然,你的理解也是对的,但是想复杂了。为什么你要排序呢?红球就是红球嘛,怎么拿都是红球。我既然两次拿的都是红球了,就没有必要排列了。
第3个回答  推荐于2017-10-11
放回抽样的概率和不放回抽样的概率大小不定.
例如盒中有6红球和4个黑球,从中依次取两个球,
问1、从中取两个红球的的概率?若放回,概率为36/100=9/25.若不放回,概率为6*5/10*9=1/3
问2、从中取一红球和一黑球的概率?放回概率为36/100.不放回的概率6*4/10*9=4/15
问3、从中取一红球和一白球的概率?不论放回还是不放回的概率都是0(当样本完全一样时,同时抽取的样本量对总样本的影响忽略不计时,不论放回还是不放回的概率都是1)。
第4个回答  2008-09-19
你如果看不懂可以无视第二种方法,第一种方法已经讲的很明白了。
这道题如果换成放回抽样,用第一种方法,则总的事件数应为10×10×10(每次拿都有10种可能,因为拿完会放回去),事件B的个数为8×8×8(每次都有8种可能拿到正品)。因此P(B)=8×8×8/(10*10*10)=0.512
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