过点m作c的两条切线ma,mb脚amb为直角

Question

设抛物线C的方程为x2=4y，M为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B． （1）当M的坐标为（0，-1）时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系； （2）求证：直线AB恒过定点； （3）当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使△MAB为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）证明：当M的坐标为（0，-1）时，设过M点的切线方程为y=kx-1，代入x 2 =4y，整理得x 2 -4kx+4=0， 令△=16k 2 -16=0，解得k=±1， 代入方程得x=±2，故得A（2，1），B（-2，1），…（2分） 因为M到AB的中点（0，1）的距离为2， 从而过M，A，B三点的圆的方程为x 2 +（y-1） 2 =4． ∵圆心坐标为（0，1），半径为2，∴圆与直线l：y=-1相切…（4分） （2）证法一：设切点分别为A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），过抛物线上点A（x 1 ，y 1 ）的切线方程为 (y- y 1 )=k(x- x 1 ) ，代入x 2 =4y，整理得x 2 -4kx+4（kx 1 -y 1 ）=0△=（4k） 2 -4×4（kx 1 -y 1 ）=0，又因为 x 1 2 =4 y 1 ，所以 k= x 1 2 …（6分） 从而过抛物线上点A（x 1 ，y 1 ）的切线方程为 y- y 1 = x 1 2 (x- x 1 ) 即 y= x 1 2 x- x 21 4 又切线过点M（x 0 ，y 0 ），所以得 y 0 = x 1 2 x 0 - x 21 4 ①即 y 0 = x 1 2 x 0 - y 1 …（8分） 同理可得过点B（x 2 ，y 2 ）的切线为 y= x 2 2 x- x 22 4 ， 又切线过点M（x 0 ，y 0 ），所以得 y 0 = x 2 2 x 0 - x 22 4 ②…（10分） 即 y 0 = x 2 2 x 0 - y 2 …（6分） 即点A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）均满足 y 0 = x 2 x 0 -y 即x 0 x=2（y 0 +y），故直线AB的方程为x 0 x=2（y 0 +y）…（12分） 又M（x 0 ，y 0 ）为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，故x 0 x=2（y-m）对任意x 0 成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分） 证法二：设过M（x 0 ，y 0 ）的抛物线的切线方程为 y- y 0 =k(x- x 0 ) （k≠0）， 代入x 2 =4y，消去y，得x 2 -4kx-4（y 0 -kx 0 ）=0 ∴△=（4k） 2 +4×4（y 0 -kx 0 ）=0即：k 2 -x 0 k+y 0 =0…（6分） 从而 k 1 = x 0 + x 20 -4 y 0 2 ， k 2 = x 0 - x 20 -4 y 0 2 此时 x 1 = 2 k 1 ， x 2 = 2 k 2 所以切点A，B的坐标分别为 A( 2 k 1 ， 1 k 1 2 ) ， B( 2 k 2 ， 1 k 2 2 ) …（8分） 因为 k AB = y 1 - y 2 x 1 - x 2 = x 1 + x 2 4 = x 0 2 ， x 1 + x 2 2 = 2 k 1 + 2 k 2 2 = k 1 + k 2 k 1 k 2 = x 0 ， y 1 + y 2 2 = 1 k 1 2 + 1 k 2 2 2 = ( k 1 + k 2 ) 2 -2 k 1 k 2 2 ( k 1 k 2 ) 2 = x 20 -2 y 0 2 ， 所以AB的中点坐标为 ( x 0 ， x 20 -2 y 0 2 ) …（11分） 故直线AB的方程为 y- x 20 -2 y 0 2 = x 0 2 (x- x 0 ) ，即x 0 x=2（y 0 +y）…（12分） 又M（x 0 ，y 0 ）为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，故x 0 x=2（y-m）对任意x 0 成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分） 证法三：由已知得 y= x 2 4 ，求导得 y= x 2 ，切点分别为A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），故过点A（x 1 ，y 1 ）的切线斜率为 k= x 1 2 ，从而切线方程为 (y- y 1 )= x 1 2 (x- x 1 ) 即 y= x 1 2 x- x 21 4 …（7分） 又切线过点M（x 0 ，y 0 ），所以得 y 0 = x 1 2 x 0 - x 21 4 ①即 y 0 = x 1 2 x 0 - y 1 …（8分） 同理可得过点B（x 2 ，y 2 ）的切线为 y= x 2 2 x- x 22 4 ， 又切线过点M（x 0 ，y 0 ），所以得 y 0 = x 2 2 x 0 - x 22 4 ②即 y 0 = x 2 2 x 0 - y 2 …（10分） 即点A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）均满足 y 0 = x 2 x 0 -y 即x 0 x=2（y 0 +y），故直线AB的方程为x 0 x=2（y 0 +y）…（12分） 又M（x 0 ，y 0 ）为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，故x 0 x=2（y-m）对任意x 0 成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分） （3）由（2）中①②两式知x 1 ，x 2 是方程 y 0 = x 2 x 0 - x 2 4 的两实根，故有 x 1 + x 2 = 2x 0 x 1 x 2 =4 y 0 ∵ y 1 = x 21 4 ， y 2 = x 22 4 ，y 0 =m ∴ MA • MB =4m 2 +m x 20 -4m- x 20 =（m-1）（ x 20 +4m），…（9分） ①当m=1时， MA • MB =0，直线l上任意一点M均有MA⊥MB，△MAB为直角三角形；…（10分） ②当0＜m＜1时， MA • MB ＜0，∠AMB＞ π 2 ，△MAB不可能为直角三角形；…（11分） ③当m＞1时， MA • MB ＞0，∠AMB＜ π 2 ，． 因为k AB = y 1 - y 2 x 1 - x 2 = x 1 + x 2 4 = x 0 2 ， k MA = x 1 2 = x 0 ± x 20 -4 y 0 2 ， 所以k AB k MA = x 0 (x 0 ± x 20 -4 y 0 ) 4 若k AB k MA =-1，则 x 0 (x 0 ± x 20 -4 y 0 ) 4 =-1 ，整理得（y 0 +2） x 20 =-4， 又因为y 0 =-m，所以（m-2） x 20 =4， 因为方程（m-2） x 20 =4有解的充要条件是m＞2，所以当m＞2时，有MA⊥AB或MB⊥AB，△MAB为直角三角形…（13分） 综上所述，当m=1时，直线l上任意一点M，使△MAB为直角三角形，当m＞2时，直线l上存在两点M，使△MAB为直角三角形；当0＜m＜1或1＜m≤2时，△MAB不是直角三角形．…（14分）