求微分方程的通解或在给定初始条件下的特解 求详细的解题过程 不要跳步 谢谢

Question

如题所述

Answer 1

解：（4）∵(x^2+1)dy/dx+2xy=3x^2
==>(x^2+1)dy+2xydx=3x^2dx
==>(x^2+1)dy+yd(x^2+1)=d(x^3)
==>d((x^2+1)y)=d(x^3)
==>(x^2+1)y=x^3+C (C是积分常数)
==>y=(x^3+C)/(x^2+1)
∴原方程的通解是y=(x^3+C)/(x^2+1)。
（5）∵xy'-2y=x^3e^x
==>xdy-2ydx=x^3e^xdx
==>dy/x^2-2ydx/x^3=e^xdx (等式两端同除x^3)
==>dy/x^2+yd(1/x^2)=d(e^x)
==>d(y/x^2)=d(e^x)
==>y/x^2=e^x+C (C是积分常数)
==>y=(e^x+C)x^2
∴原方程的通解是y=(e^x+C)x^2
∵y(1)=0，则代入通解得C=-e
∴原方程满足所给初始条件的特解是y=(e^x-e)x^2。
（6）∵y'+ycosx=sinxcosx
==>dy+ycosxdx=sinxcosxdx
==>e^(sinx)dy+ycosxe^(sinx)dx=sinxcosxe^(sinx)dx (等式两端同乘e^(sinx))
==>e^(sinx)dy+yd(e^(sinx))=sinxd(e^(sinx))
==>d(ye^(sinx))=d((sinx-1)e^(sinx)) (等式右端应用分部积分法)
==>ye^(sinx)=(sinx-1)e^(sinx)+C (C是积分常数)
==>y=sinx-1+Ce^(-sinx)
∴原方程的通解是y=sinx-1+Ce^(-sinx)
∵y(0)=1，则代入通解得C=2
∴原方程满足所给初始条件的特解是y=sinx-1+2e^(-sinx)。