规定 ，其中x∈R，m是正整数，且 ，这是组合数 （n，m是正整数，且m≤n）的一种推广，(Ⅰ)求 的值；(

Question

规定 ，其中x∈R，m是正整数，且 ，这是组合数 （n，m是正整数，且m≤n）的一种推广，(Ⅰ)求 的值；(Ⅱ)组合数的两个性质：① ；② ，是否都能推广到 (x∈R，m是正整数)的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出明；若不能，则说明理由；(Ⅲ)已知组合数 是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时， ∈Z。

Answer 1

解：(Ⅰ) ； (Ⅱ)性质①不能推广．例如当 时， 有定义，但 无意义； 性质②能推广，它的推广形式是 ，x∈R，m是正整数， 事实上当m=1时，有 ， 当m≥2时， ； (Ⅲ)当x≥m时，组合数 ； 当0≤x＜m时， =0∈Z； 当x＜0时，∵-x+m-1＞0， ∴ 。