如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交

Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴。（1）求该抛物线的解析式；（2）若过点A（-1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式．（3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标。

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3）， ∴假设二次函数解析式为：y=a（x-1）（x-3）， 将D（0，3），代入y=a（x-1）（x-3）， 得：3=3a， ∴a=1， ∴抛物线的解析式为：y=（x-1）（x-3）=x 2 -4x+3；
（2）∵过点A（-1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6， ∴ AC×BC=6， ∵抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点， ∴二次函数对称轴为x=2， ∴AC=3， ∴BC=4， ∴B点坐标为：（2，4）， 一次函数解析式为；y=kx+b， ∴ ， 解得： ， ；
（3）∵当点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切， ∴MO⊥AB，AM=AC，PM=PC， ∵AC=1+2=3，BC=4， ∴AB=5，AM=3， ∴BM=2， ∵∠MBP=∠ABC，∠BMP=∠ACB， ∴△ABC∽△CBM， ∴ ， ∴ ， ∴PC=1.5， P点坐标为：（2，1.5）。