为什么说并非任意两个无穷小均可比较？

Question

如题所述

Answer 1

存在特例，比如f(x)＝x×sin(1/x),g(x)＝x,x→0,f(x)/g(x)的极限不存在,无法比较。

无穷小量

数学分析中的一个概念，用以严格地定义诸如“最终会消失的量”、“绝对值比任何正数都要小的量”等非正式描述。在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常它以函数、序列等形式出现，例如，一个序列 a=(a_n)_{n\in \mathbb{N}} 若满足如下性质：  对任意的预先给定的正实数 \varepsilon>0 ，存在正整数 \displaystyle N 使得 |a_k| < \varepsilon\displaystyle k>N 时必定成立；或用极限符号把上述性质简记为  \lim_{n\to \infty} a_n = 0 则序列 a 被称为 n\to \infty 时的无穷小量。

在非标准分析中，无穷小量也和实数一样被视为具体的“数”，这些数比零大，但比任何正实数都小。前面用序列来定义无穷小量的经典方法或多或少有些难于处理，而“非标准”的无穷小量。

前提条件

无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢。因此两个无穷小量之间又分为高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。首先规定都为时的无穷小， 在空心邻域恒不为0。

高低阶无穷小量

为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量。记做 ( )。特别的，f为当时的无穷小量记作 ( )

同阶无穷小量

当 （c≠0）时，ƒ和ɡ为 时的同阶无穷小量。当x→0时的同阶无穷小量。

Answer 2

应该有三种情况:
1.无穷大 简单一点,例如1/x和1/x^2 在x->∞时,都是无穷小,但是(1/x)/(1/x^2)=x,就是无穷大
2.常数 1/x 与2/x 两个无穷小在x->∞时 比值是1/2
3.无穷小 (1/x^2)/(1/x)=1/x 在x->∞时 是无穷小.
应该没有其他关系了吧.
无穷小的比较只有上面三种情况的,高等数学课本上都有讲的,叫做无穷小的阶.追问

虽然认真回答了，但没认真看题，还是没回答我的问题。

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Answer 3

有啊。比如这个：a=x*sin(1/x)，b=x。显然，在x->0的过程中，a和b都是无穷小，但你能比较出他们的阶么？哈哈，当然不能。两者商的极限既不是无穷大又不存在。

Answer 4

f(x)=x*(1/sinx),g(x)=x.二者都是x→0的无穷小，但是limf(x)/g(x)不存在，即不能比较。